Z = {a^(0/n), a^(1/n) , a^(2/n) ,......, a}
die Formel für die Riemanische Summe ist
S_n= sum(y_k * (x^k - x^(k-1)),k=1,n)
d.h in unserem Fall ist S_n = sum(1- (x^(k-1)/x^k),k=1,n)

wenn ich das jetzt berechnen finde ich dass,
sum((x^(k-1)/x^k),k=1,n)= (n * (a^((n-1)/n)))/a = n *(a^(-1/n))

mein Übungsleiter hat geschrieben : 
S_n = sum((1/x^(k-1))*(x^(k)/x^(k-1)),k=1,n)
und dann
S_n = sum(a^(1/n)-1,k=1,n)= n * (a^(1/n)-1) - > ln a

Du erhältst S_n = n-n a^(-1/n) -> ln(a)

Was habt ihr denn in der Vorlesung unter ''Riemannschen Summe'' definiert? Es gibt nämlich eine Riemannsche Untersumme und eine Obersumme. Du berechnest halt die Riemannsche Untersumme zu dieser Zerlegung. Ebenso könntest du als Zwischenpunkte y_k = f(x_(k-1)) wählen

Untersumme = sum(m_i * (x_i-x_(i-1)),k=1,n) wobei m_i = inf f(x)
Obersumme = sum(M_i * (x_i-x_(i-1)),k=1,n) wobei M_i = sup f(x)



Ich habe nicht verstanden wie S_n = n-n a^(-1/n) -> ln(a)

wenn die Frage wäre : Beweisen sie dass die funktion integrierbar ist ?? 
sollte ich hier die Obersumme und untersumme berechnen und wenn sie gleich sind, dann ist meine Funktion integrierbar ?

Du musst, dass schon richtig aufschreiben. Über welche Menge wir das Infimum bzw. Supremum gebildet?

m_i = inf( x \el\ intervall(x_(k-1),x_k),f(x) ) 
M_i = sup( x \el\ intervall(x_(k-1),x_k),f(x) ) 

In diesem Fall erhält man halt, weil 1/x monoton fallend ist:
m_i = f(x_k)
M_i = f(x_(k-1))

Ist dir bekannt, dass folgendes gilt:
Sei a_n -> a, dann gilt (1+a_n/n)^n -> exp(a)

Genau, richtig. Eigentlich muss dies für jede Zerlegung gemacht werden. Man sagt eine Funktion ist über einem kompakten Intervall Riemann-integrierbar, wenn für jede Zerlegung dieses Intervalls die zugehörige Riemannsche Untersumme U_n bzw. Obersumme O_n konvergiert und lim(n->\inf,U_n) = lim(n->\inf,O_n) gilt.

Man kann zeigen, dass es aus reicht, die Aussage für eine einzige Zerlegung des Intervalls zu zeigen.

Denn Grenzwert kann man wohl auch direkt mit l'Hospital berechnen. Dann muss man sich auch keine Sorgen machen um die Konvergenz:

lim(x->\inf,x( 1- a^(-1/x)))  = lim(x->\inf,(1- exp(-1/x ln(a)))/(1/x)) 
= lim(x->\inf,( (- exp(-1/x ln(a)) ) * ( 1/x^2 ln(a)) ) / (-1/x^2) = ln(a)  lim(x->\inf, exp(-1/x ln(a)) ) = ln(a)