Die Mathe-Redaktion - 20.06.2013 02:44
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    Integration » Riemannsche Summen » Grenzwert einer Reihe mittels Riemannscher Summe lösen    		Druckversion
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    Autor
    Universität/Hochschule Grenzwert einer Reihe mittels Riemannscher Summe lösen
    splash1987
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2012-08-09 18:05


    Hallo zusammen

    Ich steh bei der Berechnung des folgenden Grenzwertes voll an:

    fed-Code einblenden

    Ich weiss ich muss es irgendwie über die Riemannsche Summe lösen.
    Das Vorgehen hier ist mir aber absolut schleierhaft! Kann mir das jemand helfen? Danke schon im Voraus!

    Gruss

    Splash

    Ps: Ich hab die Frage in keinem anderen Forum gepostet. Die Aufgabe ist keine Hausaufgabe, es handelt sich um einen oft vorkommenden Typ in alten Klausuren.

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    Ehemaliges_Mitglied
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2012-08-09 18:16


    Hallom
    Du könntest den Grenzwert in die Summe ziehen.
    Gruß
    Hamilton-Tensor

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    ElMachete
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    Aus:
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2012-08-09 18:31


    Hallo und herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten, splash1987!

    Mit der relativ offensichtlichen Umformung zu \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\left( \frac{k}{n} \right)^{2}} dürfte das Intervall und die darüber zu integrierende Funktion schnell abzulesen sein.

    Cheers
    Dominik

    [ Nachricht wurde editiert von ElMachete am 09.08.2012 18:32:12 ]

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    splash1987
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-09 18:33


    Ich glaube nicht, dass das funktioniert:

    Angenommen k>0 (was es zweifelsohne sein wird) so ist doch die Folge

    fed-Code einblenden

    fed-Code einblenden

    meiner Meinung nach eine Nullfolge... diese dann noch aufzusummieren für ein steigendes k wird doch immer noch Null sein!

    Gruss



    [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

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    AllenscheRegel
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    Aus:
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2012-08-09 18:43


    Man betrachte alternativ auch das folgendes Gegenbeispiel:

    fed-Code einblenden

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    Ehemaliges_Mitglied
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2012-08-09 18:51


    2012-08-09 18:43 - AllenscheRegel in Beitrag No. 4 schreibt:
    Man betrachte alternativ auch das folgendes Gegenbeispiel:

    fed-Code einblenden

    Man kann den Grenzwert doch auch in Summe ziehen.

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    splash1987
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-09 18:54


    @Dominik:

    Danke für deine Antwort.
    Das mit der Umformung versteh ich. Du hast lediglich fed-Code einblenden
    ausgeklammert. Aber jetzt kommt für mich der Knackpunkt. Die Umformung zum Integral kann ich nirgends finden und so offen ersichtlich ist sie für mich nicht  confused 

    Ich nehme mal an (und das geht jetzt eher in Richtung raten), das
    fed-Code einblenden
    quasi die Länge des Intervalls in die Anzahl der Teilsummen unterteilt (wenn man sich das Riemannsche Integral in der Treppenstufenform vorstellt). Die Summe stellt dementsprechend die Funktionswerte dar. Das Produkt daraus ist dann die Fläche unter der Kurve.

    Kann ich dann schreiben:
    fed-Code einblenden

    Bin mir echt nicht ganz sicher, was ich da brabble smile



    [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

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    ElMachete
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2012-08-09 19:02


    Ja das ist richtig, wobei die Argumentation etwas präziser sein könnte. Die dastehende Summe ist die Riemann'sche Summe für eine n-fache äquidistante Zerlegung von [0,1] mit f(x)=1/(1+x^2). Diese Funktion ist Riemann-integrierbar und demnach ist der Grenzwert das angegebene Integral, welches man natürlich auch berechnen kann.


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    cQQkie
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2012-08-09 20:22


    fed-Code einblenden

    Grüße
    [ Nachricht wurde editiert von cQQkie am 09.08.2012 20:23:20 ]

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    splash1987 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
    splash1987 hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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