int((exp(x)+exp(-x))^(-1),x)

erste Substitution: t= exp(x)
 => int((t+1/t)^(-1),t)
= int(((t^2+1)/t)^(-1),t)
= int(t/(t^2+1),t)

zweite Substitution: u=t^2+1
=> int(1/u,u)
=ln(abs(u))

Resubstitution: u=t^2+1
ln(abs(t^2+1))

Rebsubstitution: t=exp(x)
ln(abs(exp(x)^2+1))

Die Substitutionsregel lautet
int(f(x),x,g(a),g(b)) =  int(f(g(t))g'(t),t,a,b) 

Oder in Physiker-Schreibweise für dein erstes Integral:
dt/dx = e^x = t => dt/t = dx 

Sprich, da ist im ersten Schritt die Substitution nicht richtig.

int((1+x)/(1+sqrt(x)),x)

Substitution Nr1: sqrt(x)=t

=> int((1+t^2)/(1+t),t)
=int(1/(1+t),t)+int(t^2/(1+t),t)

Substitution Nr2: t+1=u

=> int(1/u,u)+int(1/u,u) =2*int(1/u,u)=2*ln(abs(u))

Resubstitution: u=t+1

=> 2*ln(abs(t+1))

Resubstitution: t=sqrt(x)

=> 2*ln(abs(sqrt(x)+1))

int(f(x)/f'(x),x)

Substitution:
f'(x)=g(t)

=> int(1/g(t),t)
 

int((1+x)/(1+sqrt(x)),x)

Substitution: t=sqrt(x)

int(1/(2*sqrt(x)) * 2*sqrt(x)((1+x)/(1+sqrt(x))),x)
= int(t'(x) *2t(x)((1+t^2(x))/(1+t(x))),x)
= int(2t((1+t^2)/(1+t)),t)
= int((2t+2t^3)/(1+t),t)

Nein musst du nicht, du hättest auch, x:[0,\inf )-> \IR mit x(t) = t^2 betrachten können:

int((1+x)/(1+sqrt(x)),x) = int((1+x(t))/(1+sqrt(x(t))) * x'(t),t) = int((1+t^2)/(1+t) * 2 t,t)

Die Physiker-Schreibweise ist aber ziemlich intuitiv:

dx/dt = x'(t) = 2t <=> dx = 2 t dt

int((1+x)/(1+sqrt(x)),x) = int((1+t^2)/(1+t),x) =  int((1+t^2)/(1+t) 2t,t)