Hallo,
ich verstehe Deine Frage nicht, die sich auf die oben beschriebene  Situation bezieht:
Gegeben sei ein Vektorraum V der Dimension n, mit einer Basis
B=(v_1,...,v_n) und seiner Dualbasis B^*=(v^*_1,...,v^*_n).
Dabei ist eine Linearform v^*_i definiert durch v^*_i(v_i)=1 und 
v^*_i(v_j)=0 für i<>j.

Gegeben sei nun eine beliebige Linearform f:V->K.

Sind die Zahlen a_i bestimmt durch f(v_i)=a_i, so gilt für einen beliebigen Vektor v=sum(k_i v_i,1,n)

  f(v)=sum(k_i f(v_i),1,n)=sum(k_i a_i,1,n).
Und das läst sich auch schreiben als f(v)=sum(a_i v^*_i(v) ).


Also, da sich ein beliebiger Vektor v auf genau eine Weise durch die Basis B entwickeln lässt ''kneift'' v^*_i gerade den gewünschten Koeffizienten ab.

Viele Grüsse