Eine analytische Fortsetzung, sofern möglich, längs einer Kreiskette ist eindeutig.
Ein von mir oft gelesener Satz, den ich natürlich beweisen wollte, und zwar ausführlich. Fast immer steht dort : Beweis Identitätssatz.

Wie muss der Beweis der Eindeutigkeit nun ausführlich lauten:

Meine Idee: Sei K_0,....K_n Kreiskette, sei f_0 auf K_0 holomorph gegeben, und fortzusetzen. Wäre f_1, bzw g_1 jeweils eine analytische Fortsetzung auf K_1, dann folgt: Weil f_1=f_0 auf K_0 geschnitten mit K_1 und analog für g_1=f_0, ist also g_1=f_1 auf dem Schnitt und der Identitätssatz anwendbar, sodass f_1=g_1 auf K_1.
Fahre induktiv fort. Ist das i.O.?

Sei eine Kreiskette (K_0,...,K_1) gegeben. Dann ist G:=union(K_0,i=0,n) ein Gebiet. Eine analytische Fortsetzung ist auf K_0 mit der ursprünglichen Funktion identisch. Weil K_0 offen ist, hat K_0 natürlich auch Häufungspunkte in G. Daher ist die Fortsetzung, falls eine existiert, nach dem Identitätssatz eindeutig.

Ich hätte mal erst nachschlagen sollen, was analytisch fortsetzbar längs einer Kreiskette überhaupt heißt. :O

Eine analytische Fortsetzung von f_0: K_0 -> \IC längs (K_0, ...,K_n) sind holomorphe Abbildungen f_i: K_i -> \IC, i=1,...n mit 
f_i = f_(i-1) auf K_i \cap K_(i-1), i=1,...n.

Dann passt die Argumentation natürlich.