\Hi!

Wir haben im Skript folgendes Beispiel:

Radioaktiver Zerfall irgendeines Teilchens - wir suchen ein Modell für die Anzahl Xder Emissionen in eimenm Zeitintervall von 10s.

- die geordneten Daten schreibt man als x_1 < x_2 < .. < x_n
- die auftretenden Werte y_1 < ... < y_m, dabei ist natürlich m <= n


Wir teilen die beobachteten Daten nun in Klassen auf:
Klasse 1 beispielsweise steht für die Intervalle à 10 Sekunden, während denen 0-2 Emissionen beobachtet wurden - von diesen Intervallen gibt es zB 18. 

Diese Anzahl Beobachtungen pro Klasse (das heisst wieviele Intervalle mit der gleichen Anzahl von Emissionen) bezeichnet man mit U_k: 

U_k(\omega) = abs({i; X_i(\omega) liegt in Klasse k}).

Die konkreten Beobachtungen bezeichnen wir mit u_k (Grossbuchstabe für Zufallsvariable und klein geschrieben für empirische Daten).

Wir nehmen nun an, dass unsere Zufallsvariablen X_i (nochmals: Zufallsvariable definiert Emission pro Intervall) i.i.d. und poissonverteilt sind (mit Parameter \lambda natürlich).

So weit so gut.

Nun kommt einiges, das ich gar nicht verstehe:

- Für den Vektor (U_1, U_2, ... , U_k) gehen wir davon aus, dass er multinomialverteilt ist - was heisst das genau? Für X_i sind wir ja von einer Poissonverteilung ausgegangen...was ist hier mit der Multinomialverteilung beschrieben?

- Zudem rechnen wir jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass ein X_i in Klasse k landet, wieder mit der Poissonverteilung aus(?!)

- Es wird gesagt, dass die Randverteilung der Multinomialverteilung Binomialverteilungen sind - das heisst, nehme ich an, wenn man quasi 
die Anzahl Zerfälle für eine Klasse konstant hält und dann alle möglichen Häufigkeiten für die anderen Klassen aufsummiert und die Wahrscheinlichkeit berechnet, hat man eine Binomialverteilung?

- Nun macht man weiter Folgendes: Da U_k binomialverteilt ist, wird gesagt sei die erwartete Anzahl der Beobachtungen in der Klasse k E[U_k] = n*p_k, dabei ist p_k die mit der Poissonverteilung ausgerechnete Wahrscheinlichkeit - n die Anzahl der Vorkommnisse ALLER Intervalle...ich verstehe diese Vorgehensweise für die Berechnung des Erwartungswertes nicht - einerseits nimmt man eine der Klasse angepasst Wahrscheinlichkeit p_k - multipliziert diese aber mit der Gesamtzahl der Klassen...

- U_k ist doch ein empirischer bzw. stochastischer Wert. Weshalb benutzt man für die Berechnung der des Erwartungswertes nicht den empirischen Mittelwert sondern die Formel für den theoretischen Erwartungswert?

- Und warum hat Statistik so wenig mit Math zu tun? :-p

Vielen, vielen Dank... 

\

Hi Dennis

Erstmals vielen Dank!

Zu den y_i: Das sind (siehe ganz oben) die auftretenden Werte. Die x_i sind die Realisierungen der Zufallsvariablen X_i: Wieviele Emissionen in 10 Sekunden. Mit Y_i klassifiziert man dann quasi diese Realisierungen: Beispielsweise kann es sein, dass man zwar 1000 Zeitintervalle betrachtet, aber nur y_1, y_2, y_3 zu deren Beschreibung genügen da nur die ''Fälle'' 10, 20 oder 25 Emissionen pro 10 Sekunden auftreten. Dann wäre z.B. abs(y_1)= 500, abs(y_2) = 300, abs(y_3) = 200.

- Nochmal zu den verschiedenen Verteilungen: Verstehe ich es also richtig, dass man:

i) Die Poissonverteilung verwendet, um anzugeben, wie wahrscheinlich eine bestimmte Anzahl Emissionen per Zeitintervall ist (das heisst, damit gibt man eigentlich die Wahrscheinlichkeit von x_i an!)

ii) Die Multinomialverteilung (bzw. als Randverteilung derer Binomialverteilung) verwendet, um anzugeben, wieviele jeder solcher Intervalle zu erwarten sind?

Was ich immer noch nicht verstehe, ist die Berechnung des Erwartungswertes.
Wenn ich zum Beispiel weiss, dass die Wahrscheinlichkeit mit einem (unfairen) Würfel eine gerade Zahl zu werfen 3/4 ist, die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Zahl 1/4, dann rechne ich doch 3*3/4 + 3*1/4 - und nicht etwa 6*3/4 um den Erwartungswert für eine gerade Zahl zu berechnen?!

Vielen Dank + viele Grüsse

Hey D!

Der erste Teil ist mir jetzt klar - und das ist sicher dieser Diskussion zu verdanken, toll!!

Zum Erwartungswert einer Binomialverteilung: Das ist nicht schwer, eigentlich müsste man Folgendes ausrechnen:

E[Z] = sum(k*(n;k)p^k*(1-p)^(n-k),k=1,n)

Dies weil man ja für den Erwartungswert einer diskreten ZV Gewichtsfunktion mit der entsprechenden Wert aus der Wertemenge multipliziert (und diese für alle Werte der Wertemenge aufaddiert).

Weils einfacher geht, greift man aber auf n Bernoulli-verteilte ZVs zurück (Binomialverteile ZVs lassen sich als Summe von Bernoulli-veteilten ZVs darstellen) und mit der Linearität des Erwartungswertes hat man n*p.

Aber das ist eben nicht dasselbe wie n*p_k! Ich sehe hier immer noch keine Analogie...:-(