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Mit F^> = q (v^>\cross\ B^> + E^>)

erhalte ich drei Gleichungen:
I) m v^*_x = -q v_z B_y + q E_x
II) m v^*_y = 0
III) m v^*_z = q v_x B_y

Ableiten von III und Umstellen ergibt:
v^*_x = m/(q B_y) v^**_z

Das setze ich ein in I und erhalte:
v^**_z + (q^2 B_y^2)/m^2 v_z = (q^2 B_y E_x)/m^2

homogene Lösung: v_z_h = A e^iwt + B e^(-iwt) mit w = (q B_y)/m 

partikuläre Lösung: v_z_p = (E_x)/(B_y)

Somit insgesamt: v_z = A e^iwt + B e^(-iwt) + (E_x)/(B_y)

Einsetzen der Anfangsbedingung (v^> (t=0) = 0) ergibt:

A = -B -(E_x)/(B_y)

Man erhält v_x durch Umstellen von III. Setzt man anschließend wieder die Anfangsbedingung ein, erhält man:

A = B

Zusammen mit der vorigen Gleichung erhält man:
A = B = -(E_x)/(2 B_y)

Was am Ende rauskommt ist:
v_x = (E_x)/(B_y) sin(wt)

v_y = 0

v_z = (E_x)/(B_y) (1 - cos(wt))

Herleitung der Bahnkurve:

Es gilt: s_x(t) = int(v_x(t'),t',0,t)

Also: s_x(t) = (E_x)/(B_y) int(sin(wt'),t',0,t)

==> s_x(t) = stammf(-(E_x)/(B_y) 1/w cos(wt'),0,t)
==> s_x(t) = (E_x)/(B_y) 1/w (1-cos(wt))

Analog: s_y(t) = 0

und s_z(t) = stammf((E_x)/(B_y) (t' - 1/w sin(wt')),0,t)

==> s_z(t) = E_x/B_y (t - 1/w sin(wt))

''Wenn man nur an der Drift interessiert ist, kann man die linke Seite für die Lorentz\-Kraft zu Null setzen:

0 = q (E^> + v^>\cross\ B^>)