int(abs(f-g_n),E_(x+i^k y),\Omega,)<=norm(f-g_n)_\inf  E_(x+ i^k y)(\Omega)<=norm(f-g_n)_\inf  norm(x+i^k y)^2
für alle x,y,k.

E bezeichnet eine Resolution der Identität.
norm(*)_\inf ist das wesentliche Supremum.

H ist ein Hilbertraum.
x,y \el\ H.
{g_n} ist eine folge reeller simpler Funktionen.
f ist eine reelle funktion (f\el\ L^\inf (E)).
i=sqrt(-1).
k ist eine natürliche Zahl.
\Omega ist eine Menge.
M ist eine \sigma-Algebra, die Teilmengen von \Omega enthält.
B(H) ist die Menge von begrenzten Operatoren in H.
E:M->B(H) ist eine Resolution der Identität.

abs(int(f,E_(x+i^k y),\Omega,)-int(g_n,E_(x+i^k y),\Omega,))->0

für n-> \inf 

So ergibt das keinen Sinn. Es soll sicherlich f\in\ L^\infty\.(\Omega) sein und \Omega soll keine beliebige Menge, sondern Teilmenge von \IC sein.
Du hast auch immer noch nicht gesagt, was x und y sind. Ich nehme an, es handelt sich um Operatoren H\to\ H und \Omega ist das Spektrum von x+i^k\.y. Da die Aussage nicht von x,y,k abhängt, ist es also sinnvoll, x+i^k\.y mit T zu bezeichnen. Dann ist die Behauptung
int(g_n,E_T,\Omega) \to int(f,E_T,\Omega)

Diese Behauptung ist offenkundig falsch, da die g_n und f nichts miteinander zu tun haben. Du musst also in irgendeiner Form g_n\to\ f fordern, z.B. im L^1-Sinne. Der erste Post sieht so aus, als würdest du sogar L^\infty, also gleichmäßige Konvergenz fordern.

Die Aussage
E_T(\Omega) <= norm(T)
ergibt erst einmal keinen Sinn, weil links ein Operator und rechts eine Zahl steht. Ich nehme an, es ist norm(T)*id_H gemeint.

i=sqrt(-1) ist bööööööse! Wurzeln in \IC sollte man nicht verwenden, wenn nicht völlig klar ist, wie das definiert ist \(was es schon dann nicht mehr ist, wenn mehr als eine einzige Person darüber nachdenkt\).

int(abs(f-g_n),E_Y,\Omega,)<=norm(f-g_n)_\inf E_T(\Omega)

E ist eine Zerlegung der Identität (so wird meines Wissens nach ''resolution of identity'' übersetzt), die ggf. von einem vorgegeben Operator T kommt, aber das scheint hier nicht so wichtig (und ist für den Beweis auch irrelevant). Man verwendet dann üblicherweise für u,v\el H die Notationen

E_u,v (A) := braket(E(A)u,v) und E_u := E_u,u , 

also ist E_u,v ein signiertes Maß und E_u ein (gewöhnliches) Maß. Außerdem ist E_u ein endliches Maß, denn

E_u(\Omega) = braket(E(\Omega)u,u) = braket(u,u) = norm(u)^2.

(Dies sollte aus der Definition von ''resolution of identity'' folgen.) 

Die fragliche Ungleichung ist also einfach die übliche Standardabschätzung

int(abs(f),\mu,\Omega,) <= \mu(\Omega) * norm(f)_\inf,

wobei man für norm(f)_\inf entweder die ''echte'' Supremumsnorm wählt oder das wesentliche Supremum in Bezug auf E-Nullmengen, also Mengen A\el M mit E(A)=0 \el B(H), angewendet auf das Maß \mu=E_u und u=x+i^k y.

Schöne Grüße,
Alexander