1. Man kann die verlangte Gleichung als
sum(p_i*U_i\otimes U_i^H,i)=(e_1\.e_1^T,e_1\.e_2^T,...,e_1\.e_n^T;.,.,...,.;e_n\.e_1^T,e_n\.e_2^T,...,e_n\.e_n^T) schreiben, es ist dabei gleichgültig, welche von den beiden vernünftigen Konventionen der Nummerierung beim Kronecker\-Produkt benutzt wird.
2. Wenn man stattdessen die kompakte Gruppe der unitären Matrizen mit dem Haarschen Maß \m versieht, dann ergibt wohl int(U\otimes U^H,\m) das Verlangte, indessen ist es nicht offensichtlich, wie man dieses Integral in eine endliche Summe verwandeln soll.

Es sei W die Menge der Abbildungen A\mapsto sum(p_j*U_j*A*U_j^H,j=1,n) mit U_j unitär und p_j>=0 und sum(p_j,j=1,n)=1 mit beliebigem n.
Diese Abbildungen sind linear, sie wirken in einem endlichdimensionalen Raum.
Die Menge der linearen Abbildungen von d x d\-Matrizen in d x d\-Matrizen ist ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension d^4\..

Also ist W eine Menge in einem Raum der Dimension d^4\., und diese Menge ist offensichtlich konvex.

Nach dem Satz von Minkowski \(oder Carathéodory, das genügt schon, Extremalpunkte braucht man hier nicht\) muß man nicht beliebig große n nehmen, sondern n = d^4+1 genügt.
Es geht mit etwas kleinerem n, aber ich gehe darauf nicht__ ein, weil das ein Abschweifen zur Darstellungstheorie wäre.

Also ist W kompakt, weil n als beschränkt angenommen werden darf und alle anderen Teilnehmer an dieser Bildung kompakt sind.

Die Abbildung t=(A\mapsto Spur(A)/d*I) gehört zur konvex\-abgeschlossenen Hülle von W, das folgt aus der Formel int(U*A*U^H,\m(U))=Spur(A)/Spur(I)*I, wobei Spur(I) natürlich gleich d ist.

Gewiß, diese Formel ist nicht offensichtlich, aber sie stimmt doch.
Das Integral, das links steht, ist mit allen unitären Matrizen vertauschbar, also Vielfaches der Einheitsmatrix.

Wir wissen aber, dass W bereits konvex und abgeschlossen ist, also ist t\in W, was zu beweisen war.