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  Diffeomorphismus, unbestimmtes Integral |
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matheklar
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 |      Themenstart: 2012-08-16 19:58
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Hallo,
  
\ sei U eine Umgebung von y_0 \el\ \Omega (offen) \subsetequal \IK^n mit h(x)!= 0 für alle x aus U (h:\Omega -> \IR stetig).Setzt man für y \el\ \Omega H(y)=int(1/h(x),x,y_0,y) , so ist H stetig differenzierbar mit H(y_0)=0 und H'=1/h.Dies bedeutet, dass H einen C^1-Diffeomorphismus von U auf ein Intervall V \subsetequal \IR darstellt. Mir ist nicht klar, warum H ein Diffeomorphismus ist. Kann man hier eine Umkehrfunktion explizit angeben? Man soll ja ''nur'' noch zeigen, daß H^-1 existiert und stetig differenzierbar ist.(Bis jetzt habe ich keine Lösung gefunden)
Gruß
matheklar
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Gockel
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-08-16 20:12
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Hi.
Nein, man kann das Inverse nicht explizit angeben. Muss man auch nicht. Wenn man die Voraussetzung dazu nimmt, dass U ein Intervall ist, dann kann man wie folgt argumentieren:
Wenn die Ableitung überall von Null verschieden ist, dann ist H streng monoton, also invertierbar. Der Satz über implizite Funktionen (bzw. eines seiner Korollare) zeigt, dass die inverse Abbildung ebenfalls stetig differenzierbar ist. Also ist H ein Diffeomorphismus auf sein Bild.
mfg Gockel.
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Schwarzer Magier der Drachengilde,
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matheklar
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-16 22:33
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matheklar
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-16 22:52
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\ Hallo EDIT: \Omega ist aus \IK^n . Ich habe vergessen anzugeben, daß \IK=\IR oder \IC ist. Im Falle n=1 haben wir ''normales'' Intervall. Ansonsten haben wir mehrdimensionales Intervall. Deshalb nehme ich zurück, was ich im letzten posting gesagt habe. Gruß matheklar
[ Nachricht wurde editiert von matheklar am 16.08.2012 22:53:15 ]
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Gockel
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| Beitrag No.4, eingetragen 2012-08-16 23:00
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Okay, ich habe mich nicht genau genug ausgedrückt: Die Bedingung, dass U ein Intervall ist, ist nicht irgendein Luxus, den wir uns gönnen können oder auch nicht, das ist unverzichtbar. Die Aussage wird falsch, wenn man sie weglässt. Omega muss ebenfalls ein Intervall sein, damit die Aussage überhaupt sinnvoll wird, denn ansonsten ist H undefiniert, weil h nicht an allen Punkten des Integrationsbereiches definiert ist. U muss ein Intervall sein, weil H sonst nicht U diffeomorph auf ein Intervall V abbilden könnte.
mfg Gockel.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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matheklar
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-17 21:24
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Ganz am Anfang meiner Überlegungen habe ich auch an den Satz über implizite Funktionen gedacht. Jedoch , ich hatte damit zwei Probleme:
1) wurde oben von Dir beantwortet.
2) U ist ein Intervall. In den Sätzen , die mit dem Satz über implizite Funktionen zu tun haben, wird immer als Definitionbereich(z.B von H) eine offene Menge vorausgesetzt. Wir haben jedoch ein beliebiges Intervall. Man kann also nicht direkt diese Sätze anwenden.
Oder "stört" das nicht, daß U z.B ein halboffenes Intervall ist?
Gruß
matheklar
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Gockel
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| Beitrag No.6, eingetragen 2012-08-19 15:28
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Nein, das stört nicht, denn man kann natürlich ein klein wenig größeres, offenes Intervall nehmen und hinterher wieder einschränken.
mfg Gockel.
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matheklar
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|  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-20 16:51
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Danke 
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