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  Abschluss kompakt-> Häufungspunkt |
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moma
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Dabei seit: 22.12.2011
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 |      Themenstart: 2012-08-17 19:32
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Frage etwas geändert:
Hier: www.iag.uni-hannover.de/~hulek/Skripten/FunkA/FunkA.pdf
  
\ Theroem 7.1 (Residuensatz) steht: ''Der Abschluss der Menge der von \gamma umlaufenen Punkte ist kompakt, also hätte die Menge der umlaufenen Singularitäten einen Häufungspunkt s0. Wieso gibt es diesen HP? Wie sieht man das?
[ Nachricht wurde editiert von moma am 17.08.2012 19:55:18 ]
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cQQkie
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| Beitrag No.1, eingetragen 2012-08-17 20:03
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Hallo,
hab jetzt zwar nur einen kurzen BLick draufgeworfen, aber wenn ich das recht verstehe, ist die Menge ja kompakt, also auch abgeschlossen und Beschränkt (für C) und damit liegt jeder Häufungspunkt einer Folge aus dieser Menge wieder in der Menge. Deine Singularitäten definieren solch eine Folge.
Korrigier mich falls ich mich irren sollte.
Gruß
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[ Nachricht wurde editiert von cQQkie am 17.08.2012 20:04:55 ]
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Buri
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Aus: Dresden
 | Beitrag No.2, eingetragen 2012-08-17 20:14
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Hi moma,
die Menge der umlaufenen Punkte ist nicht unbedingt kompakt, aber sie ist beschränkt, weil die Kurve γ beschränkt ist und somit auch das Gebiet, welches sie einschließt.
Der Abschluß einer beschränkten Menge ist kompakt, so einfach ist das.
Allerdings weiß ich nicht, wie die Schlußweise dann weiter gehen soll.
Natürlich ist die Menge der umlaufenen Punkte auch offen.
Bitte stelle weitere Einzelheiten zur Verfügung, damit man sehen kann, worum es geht. Möglicherweise liegt es auch daran, dass die Begriffe Häufungspunkt und Berührungspunkt verwechselt wurden.
Gruß Buri
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moma
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-17 20:33
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\ Hey Buri, es geht um den Residuensatz: Es sei G ein Gebiet in C und f sei eine Funktion, die bis auf isolierte Singularitäten holomorph auf G ist. Es sei S die Menge der Singularitäten von f in G. Ferner sei \gamma ein Zykel in G,der durch keinen Punkt von S geht und keinen Punkt von C ohne G umläuft. Behauptung: Dann umläuft \gamma nur endlich viele Punkte von S. Beweis: Wir nehmen zunächst an, dass \gamma unendlich viele Punkte von S umläuft. Der Abschluss der Menge der von \gamma umlaufenen Punkte ist kompakt,also hätte die Menge der umlaufenen Singularitäten einen Häufungspunkt s0. Der Punkt s0 ist nicht in G. Soweit der Beweis. Die mir unklare Folgerung bleibt. Und wieso ist s0 nicht in G.
[ Nachricht wurde editiert von moma am 17.08.2012 22:28:02 ]
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moma
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-18 11:25
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Also meine Idee:
Da die Kurve beschränkt ist, ist die Menge der umlaufenen Punkte, insbesondere die Menge der umlaufenen Singularitäten S*, beschränkt. Da nach Voraussetzung S* unendlich ist, besitzt S* nach der Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-W einen HP.
Soweit i.O.?
Doch wieso kann dieser HP nicht in G liegen? (also nicht in S, das ist klar).
[ Nachricht wurde editiert von moma am 18.08.2012 12:00:43 ]
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Buri
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Aus: Dresden
| Beitrag No.5, eingetragen 2012-08-18 12:28
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2012-08-18 11:25 - moma in Beitrag No. 4 schreibt:
Doch wieso kann dieser HP nicht in G liegen? (also nicht in S, das ist klar). Hi moma,
s0 ist ein Häufungspunkt von Singularitäten, dass heißt, in jeder Umgebung von s0 liegen unendlich viele Punkte von S.
Weil f in G nur isolierte Singularitäten hat, kann s0 nicht in G liegen, denn dann wäre s0 eine Singularität, die nicht isoliert ist.
Gruß Buri
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moma
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Dabei seit: 22.12.2011
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-18 13:37
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Danke Buri,
ist denn meine Idee dazu,dass S* einen HP hat, i. O.?
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Buri
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Aus: Dresden
| Beitrag No.7, eingetragen 2012-08-18 13:45
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2012-08-18 13:37 - moma in Beitrag No. 6 schreibt:
ist denn meine Idee dazu,dass S* einen HP hat, i. O.? Hi moma,
ja, aber ich weiß noch nicht, wie der Beweis dann weitergehen soll.
Man kann nicht ohne weiteres schließen, dass s0 von γ umlaufen wird (dann wäre man fertig).
Weil s0 nicht in G ist, kann es nicht auf der Kurve γ liegen und wird nach Voraussetzung von γ nicht umlaufen.
//EDIT: Jetzt sehe ich es doch, wie es geht.
Es gibt eine Kreis-Umgebung von s0, die γ nicht trifft.
Dann werden alle Punkte dieser Umgebung von γ nicht umlaufen, und das widerspricht der Annahme, dass es dieser Umgebung Punkte von S gibt, die umlaufen werden.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 18.08.2012 13:56:51 ]
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moma
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-18 13:50
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Hallo Buri, da s_0 nicht in G ist, wird s_0 nach Vorraussetzung von der Kurve nicht umlaufen, da alle Punkte außerhalb von G nicht umlaufen werden. und dann folgert man weiter...
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moma
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-18 14:17
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ja, genau, danke vielmals:)
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