Die Mathe-Redaktion - 20.05.2013 10:20
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    Strukturen und Algebra » Gruppen » Untergruppe eines Normalteilers    		Druckversion
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    Autor
    Universität/Hochschule J Untergruppe eines Normalteilers
    mpoullet
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2012-08-18 17:21


    Hallo,

    wie beweise ich das: sei G eine endliche Gruppe, H eine Untergruppe und N ein Normalteiler von G. Sind |H| und [G:N] teilerfremd, so gilt H\subset N.

    Mit dem Satz von Lagrange bekommt man |G|=[G:N]*|N|=[G:H]*|H|, aber wie komme ich weiter?

    Gruß,
    Matthieu.

    [ Nachricht wurde editiert von mpoullet am 18.08.2012 17:25:58 ]

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    Calculus
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2012-08-18 17:25


    Sicher, dass die Aufgabe so lauten soll? Wenn H eine Untergruppe von G ist, dann ist H auf jeden Fall eine Teilmenge von G.


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    mpoullet
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-18 17:27


    Hallo Calculus,

    ich habe mich vertippt, es ist natürlich H\subset N zu lesen.

    Gruß,
    Matthieu.

    [ Nachricht wurde editiert von mpoullet am 18.08.2012 17:27:31 ]

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    egndgf
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2012-08-18 17:27


    Hallo,

    du meinst wohl H\subset N. Betrachte hierzu einfach einmal die Gruppe (!) \pi(H), wobei \pi die kanonische Projektion G\rightarrow G/N bezeichnet.

    MfG
    egndgf


    [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

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    mpoullet
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-18 17:56


    Hallo egndgf,

    aus dem Kurs weiss ich, dass die kanonische Projektion ein surjektiver Homomorphismus ist. Also ist \pi(H) als Bild einer Untergruppe von G eine Untergruppe von G/N. Außerdem ist \ker(\pi)=N. Aber irgendwie komme ich nicht weiter...

    Gruß,
    Matthieu.


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    wegner
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2012-08-18 18:18


    hallo. was weißt du denn über |\pi(H)|?

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    mpoullet
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-18 18:37


    Hallo wegner,

    [G/N:\pi(H)]|\pi(H)|=|G/N|=[G:N]=|G|/|N|, oder?

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    wegner
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2012-08-18 18:43


    hi.
    (1) genau, es gilt [G/N : \pi(H)]\cdot |\pi(H)| = [G:N] , also ist |\pi(H)| ein teiler von...
    (2) was haben |\pi(H)| und |H| miteinander zu tuen?

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    mpoullet
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-18 19:17


    Danke wegner für deine Mühe,

    (1) \pi(H) ist ein Teiler von [G:N], also kein Teiler von |H|, oder?

    (2) es ist \pi(H)=hN und die Linksmultiplikation N\rightarrow hN ist eine bijektive Abbildung, also ist N\cong hN=\pi(H) und |N|=|hN|=|\pi(H)|, oder?

    Es ist wahrscheinlich ganz einfach, aber ich begreife es nicht...


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    Martin_Infinite
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2012-08-19 07:38


    1) Ja, |p(H)| ist eine Teiler von |G:N|. Aber wieso sollte es kein Teiler von |H| sein? Umgekehrt wird ein Schuh draus (siehe unten).
    2) Die Gleichung p(H)=hN ist Unsinn. Also p(H) ist doch ein Quotient von H, also ist |p(H)| ein Teiler von |H|. Zusammen mit 1) ist das also sogar ein gemeinsamer Teiler von |G:N| und |H|. Was für ein Wert bleibt also übrig?


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    mpoullet
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-19 11:33


    |\pi(H)| ist also ein gemeinsamer Teiler von [G:N] und |H|. Nach Voraussetzung sind sie teilerfremd, also ist |\pi(H)|=1. Als Untergruppe von G/N enthält also \pi(H) nur das neutrale Element von G/N. Es ist \pi(H)=\{eN\}=\{N\}. H ist also eine Teilmenge von \ker(\pi)=N, d.h H\subset N, oder?

    [ Nachricht wurde editiert von mpoullet am 19.08.2012 12:35:07 ]

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    wegner
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2012-08-19 12:03


    ja, das stimmt so (einmal hast du "|...|" vergessen, aber das ist vermutlich nur ein flüchtigkeitsfehler).  ist dir klar, warum |\pi(H)| ein teiler von |H| ist?

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    mpoullet
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-19 12:40


    Hallo wegner,

    ehrlich gesagt, nein... Ich habe mich nicht getraut nachzufragen.

    PS: ich habe meine vorherige Mitteilung korrigiert.



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    Martin_Infinite
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2012-08-19 12:41


    2012-08-19 07:38 - Martin_Infinite in Beitrag No. 9 schreibt:
    Also p(H) ist doch ein Quotient von H, also ist |p(H)| ein Teiler von |H|.


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    egndgf
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2012-08-19 12:42


    Hallo,

    betrachte denselben Homomorphismus eingeschränkt auf H und ...

    MfG
    egndgf


    [Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]

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    mpoullet
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-19 13:16


    Naja, ich verstehe es nicht. H ist nach Voraussetzung kein Normalteiler sondern nur eine Untergruppe. Ich kenne dann nur die trivialen Normalteiler H und \{e\} von H. Wenn ich die kanonische Projektion auf H beschränke, dann habe ich einen Homomorphismus H\rightarrow \pi(H)\subset G/N, h\mapsto hN, und dann?

    "ist doch ein Quotient von" ist mir nicht klar, was damit gemeint ist. Sorry...

    [ Nachricht wurde editiert von mpoullet am 19.08.2012 13:16:27 ]

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    egndgf
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2012-08-19 13:19


    Hallo,

    du solltest eigentlich noch einen (im Allgemeinen) weiteren Normalteiler von H kennen außer die beiden trivialen: Der Homomorphismus liefert dir nämlich einen.

    MfG
    egndgf

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    mpoullet
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-19 13:40


    Der Kern von \pi|_H ist ein Normalteiler von H, also gilt |H|=[H:\ker(\pi|_H)]|\ker(\pi|_H)|. Ist etwa \ker(\pi|_H)=\pi(H)? Aber warum... Ich blicke nicht mehr durch.


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    Martin_Infinite
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2012-08-19 14:08


    Ganz allgemein für algebraische Strukturen: Wenn es einen surjektiven Homomorphismus G -> G' gibt, nennt man G' einen Quotienten von G. Im Falle von Gruppen weiß man, dass dann G' isomorph zu G/N ist, wobei N der Kern von G -> G' ist (Homomorphiesatz; eine ähnliche Version gibt es für beliebige algebraische Strukturen). Der Satz von Lagrange besagt:

    |G| = |N| |G/N|
     
    und folglich

    |G| = |N| |G'|.
     
    Was wir daraus lernen: Wenn G' ein Quotient von G ist, dann ist |G'| ein Teiler von |G|.
     
    In deiner Aufgabe ist p(H) ein Quotient von H, denn p schränkt sich zu einem offensichtlich surjektiven Homomorphismus H -> p(H) ein.


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    mpoullet
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2012-08-19 15:02


    Danke für diese ausführliche Erklärung, jetzt habe ich es verstanden.

    Vielen Dank an Euch alle!

    Matthieu.

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