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Mechanik » Theoretische Mechanik » Lagrange: Brett rutscht an Wand hinab
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Universität/Hochschule Lagrange: Brett rutscht an Wand hinab
Stefan93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2013-05-24


Ein Brett der Länge L lehnt gegen eine Wand, jede Form von Reibung soll vernachlässigt werden.
Es soll nun die Bewegungsgleichung aufgestellt werden, dazu soll das Brett nach Aufgabenstellung zunächst in einzelne Segmente dl mit der Masse dm= m/l * dl .. also halt einfach homogene Massenverteilung, wobei m und l bekannt sind.
Soweit ist alles klar, jetzt kommen die einzelnen Arbeitsschritte als Aufgabenstellungen:
a) Verwenden Die den Anstellwinkel phi als generalisierte Koordinate und geben sie die kartesischen Koordinaten x,y sowie die Geschwindigkeiten des Segments an.
b)Welche kinetische und potentielle Energie liefert das Segment der Länge dl zur Gesamtenergie?
c) Intergrieren Sie über dl, um die gesamte kinetische und pot. Energie zu erhalten, geben sie die Lagrange Funktion L (phi, phi') an
d) Bewegungsglg aufstellen, Ausdruck für Phi und für Fallzeit herleiten


So, d ist klar, wenn der Rest fertig ist. c ist vermutlich auch nicht unbedingt schwer, wennn a und b richtig sind, vllt ist b es auch nicht.. (Die Aufgaben habe ich auch weitestgehend nur angegeben, damit klar ist wo die Aufgabe hinführen soll)
Aber mit a) habe ich so meine Sorgen.

Wenn ich jetzt das Brett in viele kleine Abschnitte zerlege, dann kann ich natürlich anhand des Winkels für jeden Abschnitt der Länge dl mittels Trigonometrie sagen wie groß seine Ausdehnung in x und y Richtung ist. Davon weiß ich aber noch lange nicht seine absoluten kartesischen Koordinaten, denn dazu müsste ich ja wissen welches Segment ich betrachte, denn natürlich haben die Segmente weiter oben einen größeren y Wert, ohne dass ich das aus dem Winkel ersehen könnte.
Ich müsste also entweder noch eine x oder y Koordinate zusätzlich beibehalten oder irgendwie einbeziehen, das wieviele Segment ich gerade betrachte.
Nur glaube ich im 1. Fall einfahc nicht, dass es so gemeint ist, zumal ja in c) die Langrange-Funktion offenbar nur von Phi abhängt.
Im zweiten Fall wüsste ich nicht wie ich das mit dem Integral handhaben sollte

Wäre für hinweise wie ich da Vorgehen soll äußerst danbkar,
Gruß
Stefan



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Stefan93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-25


Wirklich niemand eine Idee? :/



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2013-05-25


Hallo Stefan,

Dann schauen wir dochmal, wie weit die Sache klar ist :)

Ich habe die Wand auf die y-Achse gelegt, der Anstellwinkel wird dann ja am Fusspunkt B der Leiter abgetragen. Du musst ein wenig auf die Vorzeichen achten, der Fusspunkt liegt bei negativem x-Wert. Ob diese Wahl des Koordinatensystems so wirklich clever ist, kann man sich natürlich noch überlegen, die Vorgehensweise ist dann jedenfalls übertragbar.

Das einzelne Längensegment liegt dann vom Leiterfusspunkt aus gemessen bei der Länge l (über die wir nachher aufintegrieren) in der Skizze bei D.

Bildbeschreibung

Nun müssen wir uns die Koordinaten des Punktes D abhängig vom Winkel verschaffen. Es ergibt sich im grossen Dreieck:

fed-Code einblenden

Das wären auch schon die karthesischen Koordinaten des Masseelements.
Die Potientielle Energie ergibt sich daraus (bezogen auf den Nullpunkt der y-Achse) mit dem Massenanteil dm=M/L dl zu

fed-Code einblenden

Für die kinetische Energie brauchen wir den Betrag der Geschwindigkeit, komponentenweise haben wir, jeweils mit Berücksichtigung der inneren Ableitung :
fed-Code einblenden

Damit bekommen wir für die Geschwindigkeit:

fed-Code einblenden

Soweit - ich mich nicht verechnet habe seufz - sind wir beieinander? Dann wäre als nächstes nach l zu integrieren :)

Lass mal hören ob dir das weiterhilft

gonz

[ Nachricht wurde editiert von gonz am 25.05.2013 12:18:19 ]


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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2013-05-25


Nachtrag -

ich habe das mal weitergerechnet und bin mittels Lagrange auf die Beziehung

fed-Code einblenden

Das entspricht einer Lösung, die es hier auf dem MP schon einmal gab (von der Struktur her, der Faktor k ergibt sich dort anders) (ich hätte vorab schonmal schauen können :) und zwar hier:

hier ging es schonmal um die Leiter an der Wand

Das bereitet mir nur insofern etwas Kopfschmerzen, da ich damit für den Punkt d) auf keine geschlossene Lösung komme - es wäre also ggf. gut, wenn du mal ansagen würdest, wie weit du mit dem Ganzen bisher gekommen bist und sich vielleicht einer der Kollegen hier nochmal anschaut, ob ich mir mit der DGL die Karten gelegt habe.

Ich bekomme
fed-Code einblenden

und da verliessen sie ihn beim Integrieren von 1 durch wurzel C - sin mit der Vermutung, dass das Integral nicht geschlossen darstellbar ist.

Soweit - einen schönen Samstagabend und ich stell grad eh schon Bier & Chips für nachher bereit

gonz




[ Nachricht wurde editiert von gonz am 25.05.2013 18:44:25 ]


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KingGeorge
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2013-05-26


2013-05-25 18:40 - gonz in Beitrag No. 3 schreibt:

...

Das bereitet mir nur insofern etwas Kopfschmerzen, da ich damit für den Punkt d) auf keine geschlossene Lösung komme - es wäre also ggf. gut, wenn du mal ansagen würdest, wie weit du mit dem Ganzen bisher gekommen bist und sich vielleicht einer der Kollegen hier nochmal anschaut, ob ich mir mit der DGL die Karten gelegt habe.

Ich bekomme
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und da verliessen sie ihn beim Integrieren von 1 durch wurzel C - sin mit der Vermutung, dass das Integral nicht geschlossen darstellbar ist.

Soweit - einen schönen Samstagabend und ich stell grad eh schon Bier & Chips für nachher bereit

Hallo gonz,

Ich hoffe du hattest einen vergnüglichen Fußballabend.

Ich sehe keinen Fehler in deinen Rechnungen. Vielleicht sollte Stefan die Originalaufgabe posten. Über die Fallzeit muß ich mal in Ruhe nachdenken, da die DGL nicht lösbar ist.

Gruß
Georg





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Mit Schlechtreibung verbuchtelt man die Wechsstaben und läuft Gefahr sich verdrückt auszukehren.

Ich weiß, daß ich nichts weiß und Halbwissen ist gefährlich.
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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2013-05-26


Wobei die Aufgabenstellung ja dann der gleicht, bei einem Fadenpendel mit grosser Auslenkung, bei der eben nicht mehr

fed-Code einblenden

gilt, die Schwingungsdauer in Abhängigkeit von der max. Auslenkung zu bestimmen - das dürfte eigentlich irgendwo behandelt sein.

einen schönen Sonntag
gonz

Nachtrag : nie verzagen, MP fragen - die Frage nach der Amplitudenabhängigkeit der Schwingungsdauer wird  hier andiskuttiert und sogar eine Näherungsformel gegeben, die allerdings in unserem Fall mit Amplitude 90 Grad wohl nicht wirklich weiterhilft.

[ Nachricht wurde editiert von gonz am 26.05.2013 11:41:31 ]


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Stefan93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-26


Hallo,
vielen Dank erst einmal für die viele Hilfe.
Ich hänge leider auch bei Aufgabe d am Integral.
leider ist das schon die originalaufgabenstellung...

vllt ist vorher ein fehle passiert? Wenn ich die Epot =M*g*sin*dl*dl/L integriere komme ich auch auf einen Ausdruck,den ich eher für fraglich für die potentielle Energie des Bretts halte..
:  M*g*sin*L



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2013-05-26


Hallo Stefan,

Ich denke die pot. Energie ist

fed-Code einblenden

Den Faktor 1/2 hast du wahrscheinlich beim Integrieren übersehen, das ist einfach das "übliche" m*g*h mit dem Term L/2 sin für die Höhe des Schwerpunkts über der x-Achse.

Ich schreib doch mal kurz an was ich bis zum "Ziel" des Teil d) gefunden habe:

fed-Code einblenden

... wobei das Integral nun nicht mehr von den Parametern des physikalischen Problems abhängt sondern einfach ein konstanter Faktor ist.

PS.: Vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral überhaupt existiert, da ja der Integrand bei \phi=\pi/2 nicht definiert ist.



[ Nachricht wurde editiert von gonz am 26.05.2013 14:06:25 ]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 26.05.2013 23:18:21 ]


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Stefan93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-26


Bzw. vllt mache ich dann auch etwas falsch:
Es gilt doch
V=dm*g*dl*sin(phi)
und dann dm=dl/L*M
=> V=M/L*g*sin(phi)*(dl)^2
=> Vges= M/L*g*sin(phi)*L^2=M*g*sin(phi)*L
Oder habe ich mich da schon grundsätzlich vertan?

Ich denke eine Näherung für kleine Anstellwinkel dürfte dann für d) zulässig sein, das ist dann also klar :)

Edit: Argh, blöd... es ist ja nur das eine l aus der Masse ein dl, oder? das andere ist ja nicht unbedingt diff. klein?
Bei solchen (dx)^2 Termen bin ich immer nicht ganz sicher...
bzw bei Ekin ist es ja sogar (dl)^3, oder?
Vllt könntest du da auch noch einmal schreiben was du raus hast, nicht, dass da auch noch ein Fehler ist-.-
Dein Ausdruck macht jedenfalls aus Sicht des Schwerpunktes mehr Sinn ;)


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von Stefan93 am 26.05.2013 13:55:34 ]



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2013-05-26


Versuch dich mal mit dem Formeleditor, das geht recht gut hier :)

ich habe

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Stefan93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-26


Ok, mache ich künftig :)
Ich habe schon das erste l als diff. klein angenommen, weil es die Aufgabenstellung irg so nahe legt, daher hatte ich dieses dl*dl.
Aber so macht es nat. Sinn.
Danke!

Edit:
Wobei ich mich dann nat. gerade frage, warum die Masse des nicht-diff-kleinen Abschnittes l, die diff kleine Masse dm ist, das macht doch eig wenig Sinn, oder?
[ Nachricht wurde editiert von Stefan93 am 26.05.2013 14:12:15 ]



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2013-05-26


Äh, da habe ich einfach ein wenig aus physikalischer Sicht gedacht - die Massendichte auf der Strecke ist M/L (Gesamtmasse durch Gesamtlänge), und die Masse eines "kleinen" Stücks der Länge dl ist dann eben dm = M/L * dl

[ Nachricht wurde editiert von gonz am 26.05.2013 14:21:46 ]


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-26


Richtig, für ein Stück dl bin ich da völlig deiner Meinung,
aber wir betrachten ja ein Stück der Länge l, nicht wahr? Und warum das nun die gleiche Masse haben sollte wie ein Stück der Länge dl (sofern l nicht = dl) ist mir nicht klar... obwohl das Ergbniss dir natürlich völlig recht gibt ;)



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2013-05-26


Seufz und ich nehme mal an, dass das Integral für die Fallzeit für den Fall, dass das Brett am Anfang senkrecht steht, divergiert (was ja auch sinnig ist, weil auch aus der Anschauung das Brett ja einfach stehen bleibt so es senkrecht an der Wand steht) und damit würd ich das mal überarbeiten zu

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[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2013-05-26


Hm, wir betrachten doch nur ein Stück der Länge dl - das an der Position l liegt - und integrieren dann über l all diese Stücke auf ?

etwa so:

Bildbeschreibung



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Stefan93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-26


Ah, perfekt, da hatte ich einen Denkfehler in meiner bildlichen Vorstellung, aber dann passt natürlich alles :)

So, dann noch ein letztes "Problem", meine DGL vereinfach sich nicht so weit wie deine ;)
Ich schreibe einfach einmal auf was ich für Gleichungen hatte, vllt siehst du was falsch ist / noch fehlt:

fed-Code einblenden

So, dann jetzt Lagrange, die Multiplikatoren haben wir zwar grundsätzlich schon behandelt, wir sollen aber tendenziell eher die andere Art verwenden (zumal wir die Multikplikatoren auch bisher nur für Probleme mit mehreren Zwangsbedingungen zur Bestimmung der Zwangskräfte verwender haben), das sollte ja hier eig auch unproblematisch sein, daher:
fed-Code einblenden
So... da ist der richtige Term zwar immerhin dabei, aber leider auch noch viel mehr und das werde ich nicht los...
Hast du da noch eine Idee oder sagst mir was du gemacht hast?
Vielen vielen Dank!
[ Nachricht wurde editiert von fed am 26.05.2013 23:20:14 ]



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2013-05-26


Bei mir hat sich der Term mit dem sin^2 in der kinetischen Energie beim Einsetzen der Integrationsgrenzen hinweggehoben - ich rechne an der Stelle aber auch grad nochmal nach

zur Kontrolle - Ausgangspunkt ist ja

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[ Nachricht wurde editiert von gonz am 26.05.2013 16:29:05 ]


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Stefan93
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Tut er auch, Vorzeichenfehler... ;)
Danke!



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gonz
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Prima :)



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