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\(\begingroup\) Matroids Matheplanet Forum Index » Aktuelles und Interessantes » Eine Million $ für Lösen der Beal-Vermutung
Thema eröffnet 2013-06-06 21:45 von
StrgAltEntf
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Universität/Hochschule Eine Million $ für Lösen der Beal-Vermutung\(\endgroup\)
chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2013-07-25


2013-07-25 02:29 - viertel in Beitrag No. 39 schreibt:
Dumm nur, daß die 2 im Exponent nicht größer als 2 ist.

***Der Rest war falsch***
[ Nachricht wurde editiert von viertel am 25.07.2013 02:31:43 ]

Ja, du hast recht: Wegen der 2 in der Hochzahl und dass der Rest falsch war.
Es müssen A und B natürlich keinen gemeinsamen Primfaktor haben.
Hätten sie dies, dann wäre C automatisch durch diesen Primfaktor teilbar.

Ich hatte zuvor im Thread gesucht, wie denn die Vermutung nun genau lautet.

Aber jeder hat vorausgesetzt, dass man sie weiß und kaum jemand hat sie aufgeschrieben. Erst viertel hat das in einer Antwort für Maik gemacht.

2013-07-23 20:07 - viertel in Beitrag No. 22 schreibt:

Es geht darum, daß in jeder Gleichung der Form
fed-Code einblenden
die Zahlen A, B und C einen gemeinsamen Primfaktor haben müssen!


LG chryso



[ Nachricht wurde editiert von chryso am 25.07.2013 02:51:38 ]


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, eingetragen 2013-07-25


2013-07-23 18:40 - M_B-S in Beitrag No. 20 schreibt:
Naja Viertel

Allgemein soll gelten:

fed-Code einblenden

Oder?


fed-Code einblenden

[ Nachricht wurde editiert von juergen007 am 25.07.2013 09:44:14 ]



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nvidia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2013-07-25


gibt es eigentlich einen bekannten Grund, warum das für n = 2 so viele Gegenbeispiele gibt und für n > 3 so schwierig?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, eingetragen 2013-07-25


2013-07-25 10:02 - nvidia in Beitrag No. 42 schreibt:
gibt es eigentlich einen bekannten Grund, warum das für n = 2 so viele Gegenbeispiele gibt und für n > 3 so schwierig?

Naja, das ist ja auch bereits bei der Fermatschen Vermutung so: Für den Exponenten 2, der ja auch hier nicht zugelassen ist, gäbe es unendlich viele Gegenbeispiele, die man sogar formelmäßig erfassen kann...



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nvidia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2013-07-25


Ja deswegen hab ich mich das ja gefragt, was ist am Exponent > 3 so anderes?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, eingetragen 2013-07-25


Abgesehen vom Exponenten 4 brauchen ja nur Primzahlexponenten betrachtet zu werden. Und dass die Primzahl 2 als einzige gerade Primzahl wieder mal aus der Reihe tanzt, ist jetzt nicht so ungewöhnlich...



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nvidia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2013-07-30


@cryso
Zuerst einmal kann man sich wegen A^(m*n)=(A^m)^n darauf beschränken, dass x, y und z ungerade Primzahlen (oder 4) seien.

wie kommt man darauf?



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, eingetragen 2013-08-01


moin
wenn in A^x+B^y=C^z A,B oder C prim ist, wäre Beal widerlegt.
Intressant ist, was bleibt über , wenn man aus (pa)^x+(pb)^y = (pc)^z
den faktor p^x rausdividiert, sei x = min (x,y,z)
ich schau mir das mal an in Ruhe, wenn wer Lust hat kann ja was dazu sagen.

Thx





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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, eingetragen 2013-08-01


Dann steht da
fed-Code einblenden
Und nun eek ?



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.49, eingetragen 2013-08-01


2013-08-01 01:51 - viertel in Beitrag No. 48 schreibt:
Dann steht da
fed-Code einblenden
Und nun :-o ?

fed-Code einblenden

www.staff.science.uu.nl/~beuke106/Fermatlectures.pdf

Also in allen Triples der Art (1) haben A,B,C einen gemeinsamen Primfaktor.

*Rest gelöscht*


[ Nachricht wurde editiert von juergen007 am 03.08.2013 13:06:50 ]



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nvidia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.50, eingetragen 2013-08-01


ich hab was entdeckt:

fed-Code einblenden

ich hab das für ein paar Zahlen getestet und das passt (wenn das nicht nur zufall war)

Kann man das irgentwie beweisen? oder ist das schon bewiesen?



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Schachus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.51, eingetragen 2013-08-01


"<=" stimmt und ist leicht zu zeigen, versuchs doch mal selber.
"=>" ist falsch(Gegenbeispiel x=y,a=2)
fed-Code einblenden

[ Nachricht wurde editiert von Schachus am 01.08.2013 13:31:03 ]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.52, eingetragen 2013-08-01


2013-08-01 13:20 - nvidia in Beitrag No. 50 schreibt:
Kann man das irgentwie beweisen? oder ist das schon bewiesen?
Hi nvidia,
es handelt sich um eine hinreichende Bedingung, und natürlich ist das den meisten aufgeweckten Schülern bekannt, weil für ungerade n die Gleichung
fed-Code einblenden
Notwendig ist die Bedingung nicht, denn zum Beispiel ist 124 + 64 = 22032 durch 12 + 6 = 18 teilbar, obwohl der Exponent a = 4 eine gerade Zahl ist.
Gruß Buri


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.50 begonnen.]



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nvidia
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.53, eingetragen 2013-08-01


fed-Code einblenden



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.54, eingetragen 2013-08-01


2013-08-01 15:12 - nvidia in Beitrag No. 53 schreibt:
das folgt dann bestimmt auch aus diesem Satz da, oder?
Hi nvidia,
aus der Formel folgt das, ja.
fed-Code einblenden
Gruß Buri



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.55, eingetragen 2013-08-02


2013-08-01 13:20 - nvidia in Beitrag No. 50 schreibt:
ich hab was entdeckt:

fed-Code einblenden

ich hab das für ein paar Zahlen getestet und das passt (wenn das nicht nur zufall war)

Kann man das irgentwie beweisen? oder ist das schon bewiesen?


Edit: <=

Das lernt man  -normalerweise- im Gymnasium in der Unterstufe (in meiner Schulzeit in der 7.Klasse).
Und natürlich fällt das nicht "vom Himmel herunter", sondern wird  auch bewiesen.(Ist ja auch leicht.)

Ebenso für an-bn. In diesem Fall gilt es für alle n>0.
Eine Spezialform davon ist dir sicher geläufig: a2-b2

LG chryso

[ Nachricht wurde editiert von chryso am 02.08.2013 17:18:40 ]


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fru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.56, eingetragen 2013-08-02


Hallo Chryso!

2013-08-02 15:33 - chryso in Beitrag No. 55 schreibt:
Das lernt man [...] wird auch bewiesen.

Du hast wahrscheinlich das Äquivalenzzeichen übersehen, denn:
Das läßt sich nicht beweisen, weil es falsch ist.

Daß 12+12 durch 1+1 teilbar ist, obwohl 2 nicht ungerade ist, liefert ein Gegenbeispiel.

Liebe Grüße, Franz



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.57, eingetragen 2013-08-02


Hallo fru!

Natürlich bezog sich meine Aussage nur auf diese Richtung: <=

Das heißt, für ungerade a gilt immer ....

Für gerade a hatte Buri schon ein Gegenbeispiel gebracht.

LG chryso



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.58, eingetragen 2013-08-02


Zum Thema Beal:
Rein rechtlich würde mich mal interessieren:
wenn hier also in diesem Forum oder einem anderen matheforum, jemand einen guten Ansatz oder Beweis oder Gegenbesipiel der Beal-Vermutung bringt, also in einem recht anonymen Forum , kann er dann Ansprüche auf das Preisgeld anmelden?



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RoPro
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.59, eingetragen 2013-08-02


Ich würde sagen, das musst du den Herrn Beal selbst fragen. Da er die Summe selbst ausgelobt hat, hat auch niemand irgendeine Art Anspruch darauf.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.60, eingetragen 2013-08-03


moin
also ich hatte in Erinnerung irgendwo, ich glaube bei Spiegel online gelesen zu haben, dass erst eine Arbeit in einer bedeutenden Fachzeitschrift erscheinen muss, bevor sich ein "commitee" damit beschäftigt.
Und alles was hier geschrieben wird ist ja quasi "public domain" oder seh ich das richtig  smile
schönes WE
Gott sei Dank nicht so heiss wie angekündigt...
Jürgen



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fermare
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.61, eingetragen 2013-09-10


!!! 81^3 + 162^3 = 9^7
!!! 9^9 + 1458^3 = 81^5
!!! 81^6 + 13122^3 = 9^13
!!! 9^15  + 118098^3    = 81^8
!!! 81^9  + 1062882^3   = 9^19
!!! 9^21  + 9565938^3   = 81^11
!!! 81^12 + 86093442^3  = 9^25
!!! 9^27  + 774840978^3 = 81^14

Das sind ja sehr schöne Beispiele
aber etwas einfacher ging es auch, und man braucht dazu keinen schnellen Rechner, der über die Nacht arbeitet.

  1  +   8       = 9
9^3  + (2*9)^3   = 9^3 + 2^3 * 9^3 = 9^4
9^6  + (2*9^2)^3 = 9^6 + 2^3 * 9^6 = 9^7
9^9  + (2*9^3)^3 = 9^9 + 2^3 * 9^9 = 9^10
9^12 + (2*9^4)^3 = 9^13
9^15 + (2*9^5)^3 = 9^16
9^18 + 1062882^3 = 9^19
etc.

auch die

4^3+4^3=2^7 etc.

sind etwas unklar ausgedrückt
man könnte verallgemeinern

2^n+2^n=2^n*(1+1)= 2*2^n = 2^n+1

Das sind zwei einfache Möglichkeiten und Spezialfälle um dem Größenwahn ein Ende zu bereiten. Hier könnt Ihr so groß werden, dass Euch der Kopf raucht und braucht keinen Computer dafür.

Andere Beispiele wären interessanter. An diesen Beispielen ist weiter suchen zwecklos und Zeitverschwendung



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.62, eingetragen 2013-09-10


2013-09-10 16:37 - fermare in Beitrag No. 61 schreibt:

Andere Beispiele wären interessanter. An diesen Beispielen ist weiter suchen zwecklos und Zeitverschwendung


Absolut korrekt!

Schließlich geht es darum, paarweise teilerfremde positive ganze Zahlen <math>A,B,C</math>zu finden, sodass die Gleichung

<math>A^x+B^y=C^z</math>

für ganze Hochzahlen <math>x,y,z \ge 3</math> erfüllt ist. Wenn man davon irgendeine der Voraussetzungen weglässt, wie z.B. in allen deinen Beispielen die Teilerfremdheit der Basen, so ist es dann vollkommen trivial, Gegenbeispiele zu finden.  biggrin

PS: Deine Gleichung oben

2^n+2^n=2^n+1

ist übrigens aufgrund der üblichen Präzedenzregeln für die Auswertung von arithmetischen Ausdrücken nur für n=0 erfüllt, und dieser Exponent ist hier ja gar nicht zugelassen!


[ Nachricht wurde editiert von weird am 10.09.2013 19:45:35 ]



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fermare
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.63, eingetragen 2013-09-10


Musst Du mir näher erklären, woher  Du die Teilerfremdheit von A;B;C hast.
Laut Spiegel sieht die Vermutung so aus

Sie lautet: A, B, C, x, y und z sind positive ganze Zahlen, x, y und z größer 2. Wenn A^x + B^y = C^z, dann haben A, B und C einen gemeinsamen Primfaktor.

Lese nichts von teilerfremden ganzen Zahlen

Also wenn die Basen A;B;C einen gemeinsamen Primfaktor haben sollen, haben sie wenigstens einen gemeinsamen Teiler, den Primfaktor und den sogar ^x,^y oder ^Z. Und hier steht nichts davon, dass nicht auch A=B=C sein kann. Deine Annahme der Teilerfremdheit widerspricht der Angabe.
Die Teilerfremdheit ist, so man den gemeinsamen Primfaktor ausschließt, lediglich eine mögliche Variante der Gleichung nicht mehr.

Das Beispiel mit der Basis 2 habe ich ohne Kontrolle von weiter oben übernommen und abgewandelt. Hast natürlich recht. Sollte man testen so was blödes auch. Muss natürlich auch heißen 2^n+2^n=2^(n+1)


Das Beispiel 2^8+2^8=2*2^8=2^9 gefällt mir einfach
[ Nachricht wurde editiert von fermare am 10.09.2013 23:19:04 ]



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.64, eingetragen 2013-09-11


2013-09-10 20:40 - fermare in Beitrag No. 63 schreibt:
Musst Du mir näher erklären, woher  Du die Teilerfremdheit von A;B;C hast.
Laut Spiegel sieht die Vermutung so aus

Sie lautet: A, B, C, x, y und z sind positive ganze Zahlen, x, y und z größer 2. Wenn A^x + B^y = C^z, dann haben A, B und C einen gemeinsamen Primfaktor.

Lese nichts von teilerfremden ganzen Zahlen

Statt zu sagen, A,B und C haben einen gemeinsamen Primfaktor, kann man auch sagen, dass die ggT von je zwei der drei Zahlen A,B,C dann >1 sind. Naja, und wenn du speziell A=B setzt, dann ist die Bedingung ggT(A,B)=1 wohl nur dann erfüllt, wenn A=B=1 ist, was in weiterer Folge dann auf einen Widerspruch führt.
[ Nachricht wurde editiert von weird am 11.09.2013 00:29:02 ]



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civilengineer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.65, eingetragen 2013-09-11


Die Lösung ist nicht so einfach, aber auch nicht so schwer. Ich kenne die Lösung nicht.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.66, eingetragen 2013-09-11


Mal ne neue These:
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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.67, eingetragen 2013-09-11


@Juergen007

Nachfolgend eine Liste aller primitiven 17 Tripel (a,b,c) mit positiven und höchstens 2-stelligen ganzen Zahlen a,b,c, sodass a²+b²=c² und a ungerade ist:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (15, 8, 17), (7, 24, 25), (21, 20, 29), (9, 40, 41), (35, 12, 37), (11, 60, 61), (45, 28, 53), (33, 56, 65), (13, 84, 85), (63, 16, 65), (55, 48, 73), (39, 80, 89), (15, 112, 113), (77, 36, 85), (65, 72, 97)

Wieviele davon erfüllen deine Bedingung für einen ABC-Treffer, welche man hier auch so

<math>rad(abc) \le c^2</math>  

schreiben kann? Es sind gerade drei, nämlich

(7, 24, 25), (9, 40, 41), (63, 16, 65)

Schaut also nicht wirklich gut aus für deine Vermutung.  biggrin
[ Nachricht wurde editiert von weird am 11.09.2013 10:28:02 ]



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.68, eingetragen 2013-09-11


o fehler ich hatte x,y > 2 gemeint und z mindestens 2 .



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dlchnr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.69, eingetragen 2013-09-11


2013-09-10 16:37 - fermare in Beitrag No. 61 schreibt:
!!! 81^3 + 162^3 = 9^7
!!! 9^9 + 1458^3 = 81^5
!!! 81^6 + 13122^3 = 9^13
!!! 9^15  + 118098^3    = 81^8
!!! 81^9  + 1062882^3   = 9^19
!!! 9^21  + 9565938^3   = 81^11
!!! 81^12 + 86093442^3  = 9^25
!!! 9^27  + 774840978^3 = 81^14

Das sind ja sehr schöne Beispiele
aber etwas einfacher ging es auch, und man braucht dazu keinen schnellen Rechner, der über die Nacht arbeitet.

Es ging hier nicht darum, ein paar "schöne Beispiele" zu präsentieren, sondern um die Festellung, dass ich bei Ausklammern der Bedingung GCD(A,B) == 1 bei einem vorgegebenen Zahlenraum für A, B, x und y (z.B. A,B,x,y <= 100) bestenfalls 10% der korrekten Lösungen finden kann, wenn ich C und z ebenso beschränke und der Möglichkeit, dass ich mit einer derartigen Beschränkung auch die Wahrscheinlichkeit für den Fund einer "echten" Lösung (unter Beachtung der Bedingung GCD(A,B) == 1) womöglich auf unter 10% senke!



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.70, eingetragen 2013-09-25


2013-07-23 18:40 - M_B-S in Beitrag No. 20 schreibt:

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weird
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2013-09-25 23:59 - juergen007 in Beitrag No. 70 schreibt:

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Nichts. Wende das doch mal z.B. auf die Gleichung

<math>2^3+2^3=2^4</math>

an und schau, ob du was Brauchbares dabei herausbekommst.  biggrin

Nebstbei: Du hast hier Terme A und B und gleichzeitig Gleichungen, die du mit (A) und (B) referenzierst, was schon einmal ein gewisses Unbehagen verursacht. Zu allem Überfluss referenzierst du dann Gleichung (A) mit Term (A), gerade so, als wolltest du meine Vorbehalte bestätigen.  eek




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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.72, eingetragen 2013-09-26

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Sorry das war hudelig ausgedrückt frown
Wir können unter der Annahme der Richtigkeit der Beal-Vermutung also unter Verwendung des (unbewiesenen) Beal-Satzes aus Gleichung (A) immer mindestens p^3 auskürzen.
Wenn das IMMER möglich ist , dann z.B <math>2^3+2^3=2^4 \rightarrow 2^2+2^2=2^3  \rightarrow 2+2=2^2= 4 \rightarrow 1+1=2 </math> was uns echt nicht vom Hocker reisst bei dem trivialen Beispiel.

Nimm
<math>9^{18} + 1062882^3 = 9^{19} </math> aus einem anderen Post LinkEine Million $ für Lösen der Beal-Vermutung  beitrag 40

kürze 9^3 :
<math>9^{15} + 118098^3 = 9^{16} </math>
weiter kürze 9^3 :
<math>9^{12} + 13122^3 = 9^{13} </math>
weiter kürze 9^3 :
<math>9^9 + 1458^3 = 9^{10} </math>
weiter kürze 9^3 :
<math>9^6 + 162^3 = 9^7 </math>
weiter kürze 9^3 :
<math>9^3 + 18^3 = 9^4 </math>
<math>729 + 5832 = 6561 </math>
weiter kürze 9^3 :
<math>1 + 8 = 9 </math>

was uns auch nicht vom Hocker reisst,da der Poster von der letzen auf die oberste Zahl hochrechnete  wink

Jedoch haben alle 8 obigen Gleichungen eins gemein, was evtl. auf ein Bildungsgesetz oder eine spezifische Eigenschaft schliessen lässt.
ich will das noch an anderen "Beal - Triples" testen die nicht so simpel kreierbar sind. Bevor ich das weiterdenke.
evtl sind aber alle "Beal - Triples" simpel kreierbar ?
Danke für lesen, nur ein Gedanke...

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dlchnr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.73, eingetragen 2013-09-26

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2013-09-26 16:40 - juergen007 in Beitrag No. 72 schreibt:

Jedoch haben alle 8 obigen Gleichungen eins gemein, was evtl. auf ein Bildungsgesetz oder eine spezifische Eigenschaft schliessen lässt.
ich will das noch an anderen "Beal - Triples" testen die nicht so simpel kreierbar sind. Bevor ich das weiterdenke.
evtl sind aber alle "Beal - Triples" simpel kreierbar ?
Danke für lesen, nur ein Gedanke...



Ich verweise nochmal auf die Erläuterungen in meinem vorhergehenden Beitrag (LinkEine Million $ für Lösen der Beal-Vermutung)

Diese Gleichungen sind entstand durch Abschalten der Bedingung GCD(A,B) == 1 und hatte absolut nicht den Zweck, Beal-Gegenbeispiele zu finden.
Vielmehr wollte ich ein Gefühl dafür bekommen, wieviele Lösungen für ein Kombination A,B,x,y verloren gehen, wenn ich C und z beschränke
(wobei natürlich nicht sicher ist, das "echte" Lösungen genauso verteilt sind oder wären, wie die "unechten").

Ich halte es nicht für zielführend, "unechte" Gegenbeispiele zu suchen, um sie dann durch Kürzen oder wie auch immer in echte Gegenbeispiele umzuwandeln - das wird nie und nimmer funktionieren.
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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.74, eingetragen 2013-09-26


Namt!
In Beitrag 9 und 13 dieses Threads (ich kriege das nicht hin mit dem topic  = beitrag ) hier hast du einige schöne Beispiel von "passende grossen nicht trivialen" Beal-triples gebracht, die ich mal auf meine eigene These teste, dazu brauch ich aber die komplette Faktorisierung der rechten Seiten.
Das mach ich schon.
thx!

"unechte" Gegenbeispiele zu suchen, um sie dann durch Kürzen oder wie auch immer in echte Gegenbeispiele umzuwandeln

ist nicht die Idee.



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dlchnr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.75, eingetragen 2013-09-26


2013-09-26 20:00 - juergen007 in Beitrag No. 74 schreibt:

"passende grossen nicht trivialen" Beal-triples


Da mein Programm solche Gleichungen in Unmengen fabrizieren kann, hätte ich sie eher als trivial eingestuft  biggrin

Ich schalte ab und zu die Bedingung GCD(A,B)==1 ab, um zu überprüfen, ob mein Programm überhaupt noch was findet, ich den Code also nicht verschlimmbessert habe.

Da gab es sogar mal einen richtige Schrecksekunde - es stellte sich dann aber heraus, dass es in den tiefen Tiefen des Zahlenraums Räume gibt, in denen nicht einmal mehr "triviale" Gleichungen zu finden sind!



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.76, eingetragen 2013-09-29


mit "trivialen" Beal-Beispielen <math>A^x + B^y = C^z </math> mit ggt(ABC) > 1 x,z,y > 2

meinte ich z.B.:

<math>a,b > 0 , m > 2 </math>

<math>(a*(a^m + b^m))^m + (b*(a^m + b^m))^m = (a^m + b^m)^{m+1}</math>

<math>2^3 + 2^3 = 2^4</math>
<math>9^3 + 18^3 = 9^4</math>
<math>28^3 + 3^3*28^3 = 28^4</math>
<math>2^5 * 275^5 + 3^5 * 275^5= 275^6</math>
<math>32 * 1572763671907 + 243 * 1572763671907 = 275^6 = 7863818359375</math>


Man sieht auch, dass in  <math>A^x + B^y = C^z </math>  A,B und C single powers sein müssen, also der Art <math>a^m</math> und nicht <math>a^rb^s...</math> mit nicht  teilerfremden r,s...

BTW Wunsch: Hätte ich gerne eine Suchfunktion in Beiträgen , mit der ich alle Beiträge einer Person in einem Zeitraum zu einem Gebiet z.B.  "Zahlentheorie von 1.8. -31.8 die xyz schrieb" finde.??



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cyrix
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Hallo!

Ich hatte ja mal vor ner Weile geschrieben, wie man sich einfach mit Zahlenkongruenzen viel Rechenarbeit sparen kann. Deshalb hier mal nen Anfang einer programatischen Umsetzung:

Zuerst stehen ein paar Hilfsfunktionen; der Hauptteil der inhaltlichen Rechnung findet sich in der Methode sievep. Dort wird jeweils überprüft, ob für ein Paar (A, B) der Wert A^x + B^y überhaupt eine z-te Potenz sein kann (indem die Gleichung modulo der Primzahl p betrachtet wird).
C++
#include "stdafx.h"
#include <vector>
 
//calculates b^exp MOD m
int modpow(int b, int exp, int m)
{
	if (exp!=0)
	{
		int r=modpow(b, exp/2, m);
		r=(r*r) % m;
		if (exp % 2 == 1)
		{
			r=(r*b) % m; 
		}
		return r;
	}
	return 1;
}
 
//calculates if n is a prime via trial factoring
bool isprime(int n)
{
	if (n%2 == 0)
	{
		return (n==2);
	}
	for (int t=3; t*t <= n; t+=2)
	{
		if (n % t == 0) return false;
	}
	return true;
}
 
//writes residues of r^exp MOD p for all residue classes 0 < = r < p in given vector v 
void powres(int p, int exp, std::vector<int> &v)
{
	v.resize(p);
	for (int r=0; r<p; r++)
	{
		v[r]=modpow(r, exp, p);
	}
}
 
//writes to a given vector v of length p at position r the value 1, 
//if r is a exp'ed power residue MOD p, and 0 otherwise
void prnr(int p, int exp, std::vector<int> &v)
{
	v.resize(p);
	v.assign(p,0);
	for (int r=0; r<p; r++)
	{
		v[modpow(r, exp, p)]=1;
	}
}
 
//writes to a given vector v of length p at position t the value r,
//if r^exp MOD p = t.
void disclog(int p, int exp, std::vector<int> &v)
{
	v.resize(p);
	v.assign(p,0);
	for (int r=0; r<p; r++)
	{
		v[modpow(r, exp, p)]=r;
	}
}
 
 
//sieves a given one-dimensional vector f of dimension dimA * dimB with prime p:
//value at position a * dimB + b in f is set to 0, iff the pair (a0+a, b0+b) is sieved out
//such a pair (a,b) is sieved out, if r=a^x+b^y MOD p is no z'th power residue MOD p 
void sievep(int x, int y, int z, std::vector<int> &f, int dimA, int dimB 
	                                                , int a0, int b0, int p)
{
	std::vector<int> A, B, C;
	powres(p, x, A); //calculates all x'th power residues MOD p
	powres(p, y, B); //calculates all y'th power residues MOD p
	prnr  (p, z, C); //calculates all residues MOD p which are z'th power residues MOD p
 
	int r;
 
	for(int a=0; a < dimA; a++)
	{
		for(int b=0; b < dimB; b++)
		{
			if (f[ a * dimB + b]!=0) // if the pair isn't sieved out yet
			{
				r=(A[(a+a0)%p] + B[(b+b0)%p]) % p;	// A^x+B^^y MOD p
				f[ a * dimB + b]=C[r];				
// =1 if r is a z'th power MOD p and 0 otherwise 
			}
		}
	}
}
 
//counts number of nonzero (==1) elements in vector f
int anz(std::vector<int> &f)
{
	int a=0;
	int size=f.size();
	for (int i=0; i<size; i++)
	{
		a+=f[i];
	}
	return a;
}
 
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int dimA=10000; // A,B < = 10000
	int dimB=10000;
	std::vector<int> feld;
	feld.assign(dimA*dimB,1); // no pair is sieved out yet
 
	int x=3; //setting exponents
	int y=3;
	int z=5;
 
	int p=11; //sieving by primes 11, 31, 41, 61 and 71, which are congruent 1 MOD z
	while (p<100)
	{
		if (isprime(p))
		{
			sievep(x, y, z, feld, dimA, dimB, 1, 1, p); //sieving, start values a0=b0=1.
			printf("%d\n",anz(feld));
//printing number of pairs not sieved out yet
		}
		p+=10;
	}
	return 0;
}

Dies ist nur (wie man an der Hauptmethode sieht) ein Beispielprogramm, was für die Exponenten x=y=3 und z=5 alle Paare (und nicht nur die teilerfremden)  A, B < = 10000 modulo der fünf Primzahlen 11, 31, 41, 61 und 71 siebt.

Die Bidschirmausgabe, welche nach jeder dieser Siebvorgänge anzeigt, wie viele Paare noch übrig sind, lautet

27272727
7520446
1650809
394542
83064.

Die Rechenzeit auf meinem PC liegt dabei dafür bei etwa 7 Sekunden, wobei der Hauptteil dabei wohl hauptsächlich zum Initialisieren des 200 MB großen Feldes bzw. jeweils pro Siebvorgang hier ineffizient gestaltet zweimaligen Durchgehens der 100 Millionen Einträge drauf geht.

Den benötigten Speicherplatz kann man durch z.B. Nutzen eines Bitfeldes anstatt eines integer-Vektors um den Faktor 16 verkleinern.

Nach diesen 5 Siebvorgängen bleibt z.B. weniger als ein Promille aller Kandidaten (bei den vorgegebenen Exponenten) erhalten, wo es überhaupt ein (nicht größenbeschränktes [!]) C geben kann, sodass A^x+B^y=C^z ist! Natürlich kann man auch noch weiter sieben, aber das erschien mir hier nicht sinnvoll, da dann die Hauptrechenleistung dafür drauf geht ein im Wesentlichen mit Nullen besetztes Feld nach Einsen zu durchsuchen um dann dort mal inhaltlich was zu machen.

Sinnvollerweise fasst man die "Überlebenden" nun zu einer Liste mit Einträgen A und B zusammen und arbeitet dann auf dieser weiter...

edit: Einfach mal zum Spielen hab ich die Grenze der "Siebprimzahl" auf 200 hoch gesetzt, sodass nun noch mit fünf weiteren p == 1 (mod 5) gesiebt wird: Noch 86 Überlebende bei weiterem Gesamtrechenaufwand < 10 Sekunden.

Und natürlich ist der zweite Siebschritt modulo Primzahlen p, die nicht kongruent 1 modulo z sind, hier noch nicht implementiert, mit welchem man Bedingungen modulo dieser Primzahlen p an C erhält, implementiert.


Vielleicht kann und will damit ja jemand mal was anfangen.

p.s.: Ob sich das ganze wirklich gut auf Graphik-Karten parallelisieren lässt, habe ich noch nicht zu Ende gedacht. Der wesentliche Berechnungsschritt passiert ja in der Methode sievep, wo über die ganzen Felder iteriert wird. Die Berechnung der Reste von r = A^x + B^y mod p sind unproblematisch, da hier nur synchrone Speicheraufrufe notwendig sind. Allerdings dann die Aufrufe C[r] sind im Allgemeinen asynchron, was sich so eben nicht paralellisieren lässt. Vielleicht kann man da jedoch einen Umweg finden, der auch dies parallel gestalten lässt.


Cyrix



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Seit dem letzten Stand gab es ein paar programmatische, aber eigentlich keine algorithmischen Änderungen. Aber jetzt kann ich auch endlich größere Instanzen mal anschauen:

Ich betrachte ein 10.000 * 10.000 - Feld von Paaren (A, B). Dann dauert die Sieben bezüglich eines (x,y,z)-Tripels auf diesem (A, B)-Feld im Schnitt ca. eine Sekunde.

In den letzten knapp über 9 Stunden blieb so eine Liste von 509 Kandidaten übrig, die A, B <= 10.000, x,y <=100 und z<=17 erfüllen. (C ist hier gewollt nicht angegeben, da es hier keinerlei Beschränkung gibt.) Erstaunlicherweise sind über 500 davon solche mit z=3 und die restlichen paar mit z=4. Für größere z (wo dann nur noch Primzahlen betrachtet werden, da C nicht in der Größe beschrnkt ist) gibt es nicht mal Kandidaten...

Cyrix



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Mittlerweile bin ich wieder etwa eine Größenordnung schneller geworden, und im Moment laufen die Überlegungen, die vielleicht eine weitere bringen.

Wenn jemand Lust hat, könnte man ja eine Arbeitsgruppe hier auf dem MP aufmachen, sodass man koordiniert algorithmische Verbesserungen zusammen bringen kann.

(Ziel meiner aktuellen Überlegungen ist es, den Bereich C^z < 10^24 komplett abzusuchen. Klar kann man auch für große Zahlen Lösungen suchen, aber die Wsk. für eine zufällige natürliche Zahl der Größe n eine z.te-Potenz mit z>=3 zu sein, nimmt mit n ja recht schnell ab [etwa 1/3 * n^(-2/3)], sodass man - wenn überhaupt - wohl eher Gegenbeispiele für relativ kleine Zahlen findet. Laut www.durangobill.com/BealsConjecture.html gibt es keine Lösung für C^z < 10^22, wofür er Monate gerechnet haben will. Wenn ich das richtig sehe, sollte man aber selbst in Tagen bis 10^24 kommen. Dort schreibt er, dass er pro Größenordnung Vergrößerung der Rechenzeit um Faktor etwas über 10^(2/3) = 4,64.. bekommt. Ich denke, man sollte mit einem Faktor von etwas über 10^(1/3)= 2,15.. auskommen.)

Cyrix



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