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Mathematik » Zahlentheorie » Collatz-Vermutung
Thema eröffnet 2016-10-13 11:42 von blindmessenger
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Kein bestimmter Bereich Collatz-Vermutung
gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.320, eingetragen 2017-02-09


Sollte ich mich nicht verzählt haben ist 7075 117872 267453 520486 543209 durch drei teilbar. Und damit selber die kleinste Startzahl, in deren Collatzreihe sie vorkommt.

Denn eine durch drei teilbare Zahl kann ja nur durch einen Halbierungsschritt entstehen (und nicht durch einen 3x+1 Schritt), und da diese Vorgängerzahl wieder durch drei teilbar ist, kann vor ihr in einer Reihe nur eine beliebige Anzahl von Halbierungsschritten liegen, dh die Startzahl ist sicher grösser als diese Zahl selbst.

War das der Sinn der Fragestellung? oder wo zielt sie genauer hin?

* neugierig guck *

gonz


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to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.321, eingetragen 2017-02-10


* Nachtrag: Diese überlegungen stimmen nur qualitativ. Weder stimmt der Angegebene Faktor von 4/3 zur Bestimmung von A(2n), noch die Annahmen für die Konstruktion der Kette, den es können ja nicht zwei 3x+1 Schritte aufeinander folgen. Nochmal bitte in genauer grins


Als statistische Betrachtung vielleicht folgendes:

Wenn ich ein beliebiges Folgenglied vorgebe, dann ist die Wahrscheinlichkeit 1/3, dass sie durch drei ohne Rest teilbar ist. Damit hat sie für alle Zeit nur Vorgänger, die durch /2 Schritte entstanden sind, da sich umgekehrt für n=3x bei der Verdoppeltung 2n=6x ergibt und der Rest 0 mod 3 erhalten bleibt.

Für die anderen Fälle, also Rest 1 oder Rest 2, passiert folgendes:

Beide Reste erlauben natürlich auch einen Übergang durch /2 "rückwärts" und landen dann bei dem jeweils anderen Rest, sodass es einen aufsteigenden Zweig mit ständigem /2 Schritt ergibt, bei dem die Reste 1 und 2 sich abwechseln, nämlich:

n=3x+1 => 2n=6x+2
n=3x+2 => 2n=6x+4 = 3*(2x+1) + 1

davon gehen jetzt an den Folgegliedern mit Rest 1 mod 3 jeweils Zweige ab, die rückwärts durch 3x+1 entstanden sind. Ich weiss nicht, ob die Annahme berechtigt ist, dass es dann Zufall ist, welcher Rest mod 3 dabei entsteht, jedenfalls kann man damit eine Markovkette für die Rückwärtsiteration bestimmen, deren Zustände mit den Resten mod 3 benannt sind:

R0 => R0 durch 1/2 rückwärts (in 100% der Fälle)
R1 => R2 durch 1/2 rückwärts (auch in 100% der Fälle)
R1 => R0, R1, R2 durch 3x+1 Rückwärts jeweils in 1/3 der Fälle
R2 => R1 durch 1/2 rückwärts (auch immer, 100%)

Damit liesse sich abschätzen, wie stark die Anzahl der Fälle pro Iterationsschritt im Mittel anwächst, und es liesse sich also auch abschätzen, mit welchem Speicherverbrauch / Rechenzeit ein entsprechender Algorithmus bei welcher "Suchtiefe" kommen würde. Wenn es keinen weiteren Trick gibt, ist damit aber auch klar, dass bei Rest 1 oder 2 mod 3 der Algorithmus nie abbricht, da man beliebig hoch gehen kann mit /2 umgekehrten /2 Schritten, bevor man beginnt wieder abzusteigen.

Damit ist ersichtlich, dass die mittlere Anzahl der zu betrachtenden Zweige alle 2 Schritte (/2 und 3x+1 jeweils einzeln gezählt) um 2/3 ansteigt, da man dann mit dem 3x+1 rückwärtsschritt mit 2/3 Wahrscheinlichkeit einen neuen relevangten Zweig mit Rest 1 oder 2 mod 3 erreicht.

Das heisst die Anzahl der zu betrachtenden Zweige dürfte sich mit

A(2n) = (4/3)^n

entwickeln. Betrachtet man also zB 100 Schritte, dann wären das 1,7 Mio Zweige, was noch machbar wäre. bei 200 Schritten bei 3*10^12, was wohl die Kapazität sprengen dürfte. Man kann das natürlich leicht mal programmieren um zu gucken was passiert.

Man kann die Zweige nach oben ggf. noch abschneiden, wenn man für die erreichten Folgenwerte feststellt, dass sie grösser sind als der zugehörte Pathrecord zu dem kleinsten bereits gefunden Wert, der dieses Folgeglied erzeugt. Eventuell lohnt es dann auch, eine dynamische Begrenzung zu verwenden und Zweige, die kleinere Werte erreichen, mit grösserer Suchtiefe zu behandeln. Das führt aber so wie ich es jetzt seh nicht zu einem wirklich terminierenden Suchverfahren, sodass die Ausgangsfrage für Folgeglieder in dem von dir angeführten Wertebereich (so sie Rest 1 oder 2 mod 3 ergeben) mit aktuellen Mitteln nicht zu beantworten sein dürfte.


Mit besten Grüssen
und einen angenehmen Start in den Tag !

gismo









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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.322, eingetragen 2017-02-10


2017-02-09 14:57 - gonz in Beitrag No. 320 schreibt:
Sollte ich mich nicht verzählt haben ist 7075 117872 267453 520486 543209 durch drei teilbar. Und damit selber die kleinste Startzahl, in deren Collatzreihe sie vorkommt.

Denn eine durch drei teilbare Zahl kann ja nur durch einen Halbierungsschritt entstehen (und nicht durch einen 3x+1 Schritt), und da diese Vorgängerzahl wieder durch drei teilbar ist, kann vor ihr in einer Reihe nur eine beliebige Anzahl von Halbierungsschritten liegen, dh die Startzahl ist sicher grösser als diese Zahl selbst.

War das der Sinn der Fragestellung? oder wo zielt sie genauer hin?

* neugierig guck *

gonz

Huhu,
Meine Idee war Zahlen zu finden die genau wie pathrecords nur noch heruntergehen, die also der Höchstwert einer oder mehrerer Collatzfolgen sind. Das können nur gerade durch 4 teilbare sein. Und diese mal zu betrachten auf PFZ u.ä.
Und ob es nicht doch eine gute Methode gi bt128 Bit Zahlenm komplette mittels x86 und AVX2 zu halbieren bzw. mal 3 +1 zu berechnen . Es könnte mit dem VPMulld ymm1,ymm2 ymm3 gehen, das 256 bit in 8 *32 zerlegt. Und ziehe grade z.B. den sog. Karazuba Algorithuns zum Multiplizieren in Betracht. Und ein shift right zu "erfinden" dass man native mit o.a. registern machen kann. Die avx-2 Methoden sind eben sehr auf Vektorialisierung ausgelegt und nicht auf Malnehmen mit overflow.
Worauf sich auf meine andere Frage in der LinkHex-Zahlen als Vektoren multiplizieren bezog.
Danke:)





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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.323, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-16


<math>S</math> sei die Zahl die in einer bestimmten Anzahl von ungeraden Schritten <math>n</math> bei der 1 landet. Die Anzahl der Variablen ist auch gleichzeitig die Anzahl der ungeraden Schritte bis zur eins. Bei jedem weiteren Ungeradenschritt verdoppelt sich die Anzahl der Formeln.

<math>n=1</math>

<math>S(a)=\frac{2^{2a+2}-1}{3}</math>


<math>n=2</math>

<math>S(a,b)=\frac{(\frac{2^{6a-2}-1}{3})2^{2b-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b)=\frac{(\frac{2^{6a+2}-1}{3})2^{2b}-1}{3}</math>


<math>n=3</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-14}-1}{3})2^{6b-3}-1}{3})2^{2c}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-14}-1}{3})2^{6b-1}-1}{3})2^{2c-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-10}-1}{3})2^{6b}-1}{3})2^{2c}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-10}-1}{3})2^{6b-4}-1}{3})2^{2c-1}-1}{3}</math>


<math>n=4</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-15}-1}{3})2^{6c}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-15}-1}{3})2^{6c-4}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-13}-1}{3})2^{6c-1}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-13}-1}{3})2^{6c-5}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-16}-1}{3})2^{6c-3}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-16}-1}{3})2^{6c-1}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-12}-1}{3})2^{6c}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-12}-1}{3})2^{6c-4}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>n=5</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-12}-1}{3})2^{6d-2}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-12}-1}{3})2^{6d}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-16}-1}{3})2^{6d-1}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-16}-1}{3})2^{6d-5}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-13}-1}{3})2^{6d-2}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-13}-1}{3})2^{6d}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-17}-1}{3})2^{6d-1}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-17}-1}{3})2^{6d-5}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-52}-1}{3})2^{18c-15}-1}{3})2^{6d}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-52}-1}{3})2^{18c-15}-1}{3})2^{6d-4}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-52}-1}{3})2^{18c-13}-1}{3})2^{6d-1}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-52}-1}{3})2^{18c-13}-1}{3})2^{6d-5}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-48}-1}{3})2^{18c-12}-1}{3})2^{6d}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-48}-1}{3})2^{18c-12}-1}{3})2^{6d-4}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-48}-1}{3})2^{18c-16}-1}{3})2^{6d-3}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-48}-1}{3})2^{18c-16}-1}{3})2^{6d-1}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

So entsteht ein netter Kettenbruch, der auch teilweise einem Bildungsgesetz gehorcht. Leider hat dieses Bildungsgesetz eine "chaotische Komponente" in den Resten der Potenzen... Ich dachte erst diese Reste würden sich wiederholen, aber das tun sie wohl nicht...  frown

Um die <math>27</math> mit einem Kettenbruch darzustellen braucht man also nur noch <math>2^{41-1}</math> (ca. 1 Billionen!) Kettenbrüche mit genau  <math>41</math> Variablen generieren und dann solange Werte einsetzen bis die <math>27</math> ausgespuckt wird...  biggrin




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Gruß blindmessenger



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.324, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19


Hallo,
vielleicht ist das auch mal wieder Schwachsinn von mir aber ich finde es ganz interessant...

Ich habe mal so etwas wie ein collatz Graph gebastelt...



Es ergibt sich folgendermaßen:

Alle Collatzfolgen werden in drei Klassen eingeteilt. Genauer werden anhand der Anzahl der Elemente die Folgen in drei Restklassen eingeteilt. 3k, 3k+1 und 3k+2

Beispiel:

Die Folge der Zahl 3 hat 8 Glieder. 8 gehört zur Restklasse 3k+2.

Die Folge der Zahl 5 hat 6 Glieder. 6 gehört zur Restklasse 3k.

Der Graph besteht nun aus der Folge dieser Restklassen. Die ersten Restklassen sehen so aus:

<math>
\begin{tabular}{c|c|c}
n&Anzahl Elemente&Restklasse
\sline\\
1&1&3k+1\\
2&2&3k+2\\
3&8&3k+2\\
4&3&3k\\
5&6&3k\\
6&9&3k\\
7&17&3k+2\\
8&4&3k+1\\
9&20&3k+2\\
10&7&3k+1\\
\end{tabular}
</math>

Um aus dieser Abfolge von Restklassen ein Graphen zu bekommen habe ich folgendes gemacht.

Der erste Punkt also <math>n=1</math> wird bei <math>x=1</math> und <math>y=0</math> gesetzt.

Der zweite Punkt also <math>n=2</math> wird bei <math>x=2</math> und <math>y=1</math> gesetzt.

Der dritte Punkt also <math>n=3</math> wird bei <math>x=3</math> und <math>y=1</math> gesetzt.

Das Prinzip ist also: Wenn die Restklasse gleich bleibt, dann bleibt der y-Wert auch gleich... Wenn die Restklasse nicht gleich bleibt dann wird entweder y um 1 verringert oder erhöht:

Wenn nach <math>3k</math> also <math>3k+1</math> kommt, dann wird <math>y</math> um einen erhöht.

Wenn nach <math>3k</math> also <math>3k+2</math> kommt, dann wird <math>y</math> um einen verringert.

<math>
\begin{tabular}{c|c|c}
Restklasse&Nachfolgerestklasse&y
\sline\\
3k&3k&+0\\
3k&3k+1&+1\\
3k&3k+2&-1\\
3k+1&3k+1&+0\\
3k+1&3k+2&+1\\
3k+1&3k&-1\\
3k+2&3k+2&0\\
3k+2&3k&+1\\
3k+2&3k+1&-1\\
\end{tabular}
</math>

Der Graph den ich oben aufgeführt habe ich mit Excel hingefummelt und geht bis n=1000. Er entfernt sich von seinem Ursprung. Was mich interessieren würde. Was passiert wenn man für größere n plottet. Wohin entwickelt sich der Graph? Gibt es einen Trend?

Dafür bräuchte man wohl ein Programm... Wen es interessiert... Könnte man mal programmieren...


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Gruß blindmessenger



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blindmessenger
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2017-05-16 19:46 - blindmessenger in Beitrag No. 323 schreibt:
<math>S</math> sei die Zahl die in einer bestimmten Anzahl von ungeraden Schritten <math>n</math> bei der 1 landet. Die Anzahl der Variablen ist auch gleichzeitig die Anzahl der ungeraden Schritte bis zur eins. Bei jedem weiteren Ungeradenschritt verdoppelt sich die Anzahl der Formeln.

<math>n=1</math>

<math>S(a)=\frac{2^{2a+2}-1}{3}</math>


<math>n=2</math>

<math>S(a,b)=\frac{(\frac{2^{6a-2}-1}{3})2^{2b-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b)=\frac{(\frac{2^{6a+2}-1}{3})2^{2b}-1}{3}</math>


<math>n=3</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-14}-1}{3})2^{6b-3}-1}{3})2^{2c}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-14}-1}{3})2^{6b-1}-1}{3})2^{2c-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-10}-1}{3})2^{6b}-1}{3})2^{2c}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-10}-1}{3})2^{6b-4}-1}{3})2^{2c-1}-1}{3}</math>


<math>n=4</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-15}-1}{3})2^{6c}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-15}-1}{3})2^{6c-4}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-13}-1}{3})2^{6c-1}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-13}-1}{3})2^{6c-5}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-16}-1}{3})2^{6c-3}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-16}-1}{3})2^{6c-1}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-12}-1}{3})2^{6c}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-12}-1}{3})2^{6c-4}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>n=5</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-12}-1}{3})2^{6d-2}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-12}-1}{3})2^{6d}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-16}-1}{3})2^{6d-1}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-16}-1}{3})2^{6d-5}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-13}-1}{3})2^{6d-2}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-13}-1}{3})2^{6d}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-17}-1}{3})2^{6d-1}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-17}-1}{3})2^{6d-5}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-52}-1}{3})2^{18c-15}-1}{3})2^{6d}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-52}-1}{3})2^{18c-15}-1}{3})2^{6d-4}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-52}-1}{3})2^{18c-13}-1}{3})2^{6d-1}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-52}-1}{3})2^{18c-13}-1}{3})2^{6d-5}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-48}-1}{3})2^{18c-12}-1}{3})2^{6d}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-48}-1}{3})2^{18c-12}-1}{3})2^{6d-4}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-48}-1}{3})2^{18c-16}-1}{3})2^{6d-3}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-154}-1}{3})2^{54b-48}-1}{3})2^{18c-16}-1}{3})2^{6d-1}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

So entsteht ein netter Kettenbruch, der auch teilweise einem Bildungsgesetz gehorcht. Leider hat dieses Bildungsgesetz eine "chaotische Komponente" in den Resten der Potenzen... Ich dachte erst diese Reste würden sich wiederholen, aber das tun sie wohl nicht...  frown

Um die <math>27</math> mit einem Kettenbruch darzustellen braucht man also nur noch <math>2^{41-1}</math> (ca. 1 Billionen!) Kettenbrüche mit genau  <math>41</math> Variablen generieren und dann solange Werte einsetzen bis die <math>27</math> ausgespuckt wird...  biggrin



Wenn man beweisen könnte, dass sich mit diesen Kettenbrüchen alle ungeraden Zahlen bilden lassen, dann wäre auch Collatz bewiesen...  eek

Jemand eine Idee?


-----------------
Gruß blindmessenger



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.326, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-24


2017-05-16 19:46 - blindmessenger in Beitrag No. 323 schreibt:

Um die <math>27</math> mit einem Kettenbruch darzustellen braucht man also nur noch <math>2^{41-1}</math> (ca. 1 Billionen!) Kettenbrüche mit genau  <math>41</math> Variablen generieren und dann solange Werte einsetzen bis die <math>27</math> ausgespuckt wird...  :-D



Die 27 darzustellen ist doch gar nicht so schwer. Man kann "beliebige" ungerade Zahlen relativ einfach mit einem Kettenbruch darstellen (wenn man die Collatzfolge kennt...) indem man folgendermaßen vorgeht:

Beispiel 7:

Zuerst sieht man sich die komplette Folge an:

7-22-11-34-17-52-26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1

Nun zählt man die Anzahl der geraden Schritte rückwärts:

1-16 sind 4 Schritte

5-40 sind 3 Schritte

13-52 sind 2 Schritte

17- 34 ist 1 Schritt

11-22 ist 1 Schritt

so bekommt man folgenden Kettenbruch:

<math>\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{4}-1}{3})2^{3}-1}{3})2^{2}-1}{3})2^{1}-1}{3})2^{1}-1}{3}=7</math>

oder

<math>S(1,1,1,1,1)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18-16}-1}{3})2^{6d-5}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}=7</math>

Die Vorgehensweise sollte dann auch mit der 27 funktionieren...


-----------------
Gruß blindmessenger



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.327, eingetragen 2017-05-24


Hallo,

Ausgabe Komplette Kette [27]:
27 | 82 | 41 | 124 | 62 | 31 | 94 | 47 | 142 | 71 | 214 | 107 | 322 | 161 | 484 | 242 | 121| 364 | 182
| 91 | 274 | 137 | 412 | 206 | 103 | 310 | 155 | 466 | 233 | 700 | 350 | 175 | 526 | 263
| 790 | 395 | 1186 | 593 | 1780 | 890 | 445 | 1336 | 668 | 334 | 167 | 502 | 251 | 754 | 377 | 1132
| 566 | 283 | 850 | 425 | 1276 | 638 | 319 | 958 | 479 | 1438 | 719 | 2158 | 1079 | 3238 | 1619 |
4858 | 2429 | 7288 | 3644 | 1822 | 911 | 2734 | 1367 | 4102 | 2051 | 6154 | 3077 | 9232 | 4616 |
2308 | 1154 | 577 | 1732 | 866 | 433 | 1300 | 650 | 325 | 976 | 488 | 244 | 122 | 61 | 184 | 92 | 46
| 23 | 70 | 35 | 106 | 53 | 160 | 80 | 40 | 20 | 10 | 5 | 16 | 8 | 4 | 2 |

37 ungerade in dieser Kette:
 27  
 41  
 31  
 47  
 71
 161
 91
  103
  155
  233
  175
 263
 395
 593
 445
 167
  251
 377
 283  
 425
 319
 479
 719
 1079
 1619
 2429
 911
 1367
 2051
 3077
 577
 433
 325
 61
 23
 35
 53
 5
.
.
 1
 
 Auffallend /interessant sind :
 a) hohe zahlen wie 3077 die sehr schnell zerfallen also in wenigen 3x+1 steps.
 b) allgemein Zahlen, die nur noch runtergehen: 2308 /durch 4 teilbar.
 c) Knotenzahlen, die sehr oft in Collatzketten auftreten, hab ich noch nicht weiter verfolgt, es sind wenige.
Diese haben nicht offensichtlich mit deinen Kettenbrüchenzu tun.. oder?




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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.328, eingetragen 2017-05-24


@blindmessenger
Das Vorgehen, aber erst die gesamte Collatz-Folge einer Zahl zu kennen und daraus den Kettenbruch zu entwickeln, widerspricht aber der Zielsetzung zu zeigen, dass alle solchen ungeraden Zahlen zu einem Kettenbruch gehören ;)
Denn so würde man nur zeigen, dass jene Zahlen, deren Collatz-Folge auf 0 geht, einen solchen Kettenbruch besitzt (den man erst wegen der Folge recht handlich angeben konnte).

Damit könnte man halt nicht zeigen, dass alle ungeraden Zahlen solch einen Kettenbruch besitzen, wenn man sich nur auf jene beschränkt, wo man schon weiß (wegen der Collatz-Folge die zu 1 wird), dass sie einen solchen besitzen ^^

Sicherlich ist dies wohl das schwierige daran, dass man zeigen müsste, dass alle ungeraden Zahlen (ohne unbedingt deren Collatz-Folge zu kennen) von einem solch endlichen Kettenbruch repräsentiert werden...



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blindmessenger
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2017-05-24 16:23 - MartinN in Beitrag No. 328 schreibt:
Sicherlich ist dies wohl das schwierige daran, dass man zeigen müsste, dass alle ungeraden Zahlen (ohne unbedingt deren Collatz-Folge zu kennen) von einem solch endlichen Kettenbruch repräsentiert werden...

So sieht es aus...

Beitrag 323 zielt auch mehr darauf ab, eine Systematik dieser Kettenbrüche zu entwickeln, die es einem dann vielleicht  erlaubt zu zeigen, dass damit die ungeraden Zahlen abgedeckt werden...




-----------------
Gruß blindmessenger



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.330, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-25


Die Kettenbruchsystematik aus Beitrag 323 ist unvollständig...

Die Anzahl der Kettenbrüche pro n liegt wohl bei (oeis.org/A083667):

<math>1 \ (n=1) </math>

<math>1 \cdot 2=2 \ (n=2) </math>

<math>1 \cdot 2 \cdot 6=12 \ (n=3) </math>

<math>1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 18=216 \ (n=4) </math>

<math>1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 18 \cdot 54=11664 \ (n=5) </math>

<math>...</math>


Es sollte dann so aussehen:

<math>n=1</math>

<math>S(a)=\frac{2^{2a+2}-1}{3}</math>


<math>n=2</math>

<math>S(a,b)=\frac{(\frac{2^{6a-2}-1}{3})2^{2b-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b)=\frac{(\frac{2^{6a+2}-1}{3})2^{2b}-1}{3}</math>


<math>n=3</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-14}-1}{3})2^{6b-3}-1}{3})2^{2c}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-14}-1}{3})2^{6b-1}-1}{3})2^{2c-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-10}-1}{3})2^{6b}-1}{3})2^{2c}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-10}-1}{3})2^{6b-4}-1}{3})2^{2c-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-8}-1}{3})2^{6b-1}-1}{3})2^{2c}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-8}-1}{3})2^{6b-5}-1}{3})2^{2c-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-4}-1}{3})2^{6b-2}-1}{3})2^{2c}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-4}-1}{3})2^{6b}-1}{3})2^{2c-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-2}-1}{3})2^{6b-5}-1}{3})2^{2c}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a-2}-1}{3})2^{6b-3}-1}{3})2^{2c-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a+2}-1}{3})2^{6b-4}-1}{3})2^{2c}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c)=\frac{(\frac{(\frac{2^{18a+2}-1}{3})2^{6b-2}-1}{3})2^{2c-1}-1}{3}</math>


<math>n=4</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-15}-1}{3})2^{6c}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-15}-1}{3})2^{6c-4}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-13}-1}{3})2^{6c-1}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-13}-1}{3})2^{6c-5}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-9}-1}{3})2^{6c-2}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-9}-1}{3})2^{6c}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-7}-1}{3})2^{6c-5}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-7}-1}{3})2^{6c-3}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-3}-1}{3})2^{6c-4}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-3}-1}{3})2^{6c-2}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-1}-1}{3})2^{6c-3}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-50}-1}{3})2^{18b-1}-1}{3})2^{6c-1}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-16}-1}{3})2^{6c-3}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-16}-1}{3})2^{6c-1}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-12}-1}{3})2^{6c}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-12}-1}{3})2^{6c-4}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-10}-1}{3})2^{6c-1}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-10}-1}{3})2^{6c-5}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-6}-1}{3})2^{6c-2}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-6}-1}{3})2^{6c}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-4}-1}{3})2^{6c-5}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b-4}-1}{3})2^{6c-3}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b}-1}{3})2^{6c-4}-1}{3})2^{2d}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{54a-46}-1}{3})2^{18b}-1}{3})2^{6c-2}-1}{3})2^{2d-1}-1}{3}</math>


<math>usw.</math>


<math>n=5</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-16}-1}{3})2^{6d-1}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-16}-1}{3})2^{6d-5}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-12}-1}{3})2^{6d-2}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-12}-1}{3})2^{6d}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-10}-1}{3})2^{6d-5}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-10}-1}{3})2^{6d-3}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-6}-1}{3})2^{6d-1}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-6}-1}{3})2^{6d-2}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-4}-1}{3})2^{6d-3}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c-4}-1}{3})2^{6d-1}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c}-1}{3})2^{6d}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-51}-1}{3})2^{18c}-1}{3})2^{6d-4}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-17}-1}{3})2^{6d-1}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-17}-1}{3})2^{6d-5}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-13}-1}{3})2^{6d-2}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-13}-1}{3})2^{6d}}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-11}-1}{3})2^{6d-5}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-11}-1}{3})2^{6d-3}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-7}-1}{3})2^{6d-4}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-7}-1}{3})2^{6d-2}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-5}-1}{3})2^{6d-3}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-5}-1}{3})2^{6d-1}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-1}-1}{3})2^{6d}-1}{3})2^{2e}-1}{3}</math>

<math>S(a,b,c,d,e)=\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{2^{162a-158}-1}{3})2^{54b-49}-1}{3})2^{18c-1}-1}{3})2^{6d-4}-1}{3})2^{2e-1}-1}{3}</math>


<math>usw.</math>





Da hat sich wohl schon jemand ähnliche Gedanken gemacht...

arxiv.org/abs/1504.03040





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2016-11-10 20:10 - trunx in Beitrag No. 184 schreibt:
tja und dann würde mich zb. interessieren, welche eigenschaften diese folge hat.
sie beginnt übrigens mit {1,3,7,15,...}

bye trunx

Besser spät als nie. wink  A243115

Hat jemand Lust die Folge der Differenzen (kann man auch noch durch 4 teilen) als Pattern darzustellen? z.B 1000*1000 und jede Zahl eine andere Farbe.

4, 4, 4, 8, 4, 4, 8, 8, 12, 4, 8, 8, 12, 4, 8, 8, 12, 4, 28, 4, 8, 8, 16, 8, 8, 12, 4, 8, 8, 12, 4, 28, 4, 16, 16, 8, 20, 12, 8, 16, 28, 4, 8, 24, 16, 16, 8, 8, 12, 4, 28, 4, 16, 16, 8, 20, 12, 8, 16, 28, 4, 8, 24, 16, 16, 8, 8, 12, 4, 28, 4, 16, 16, 8, 20, 12, 8, 16, 28, 4, 8, 24, 16, 16, 8, 8, 12, 4, 28, 4, 16, 16, 8, 20, 12, 8, 16, 28, 4, 8, 24, 16, 16, 8, 8, 12, 4, 28, 20, 16, 8, 32, 24, 28, 4, 32, 16, ...
PARI/GP
limit=10000;
L=listcreate(limit);
for(a=3, limit*10, d=0; x=a; until(x<=a, if(x%2, x=(3*x+1)/2, x/=2); d++); if(2^d>a, listput(L,a)));
for(i=1, limit, c=L[i+1]-L[i]; print1(c/4" "); write1("c:/users/datei.txt",c/4" "));



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.332, eingetragen 2017-09-23


Neue Idee:
Wäre der Sache dienlich, wenn man zeigen kann dass alle Primzahlen  in den trivialen Zyklus gehen?

Da jede Zahl eine PF Zerlegung hat, müsste noch gezeigt werden, wenn man das annimmt und definiert:
Sei o(n) die Anzahl der ungeraden Kollatzschritte von

<math>\displaystyle n=\prod {p_{i}^{\epsilon(i)}</math>,

<math>\displaystyle\forall p_i: o(p_i)</math> ist bekannt und endlich nach Vorraussetzung.

Zu Zeigen dann "nur noch":
<math>\displaystyleo p_i^{\epsilon(i)}</math> ist  endlich.
<math>\displaystyleo p_i \cdot p_j, i <> j</math> ist  endlich.


z.B. o(3) = 2,  o(5) = 1, aber o(3*5) = 5, und o(3^3) ca 41.










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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.333, eingetragen 2017-09-28


Schnulli stand hier:



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Amateur
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.334, eingetragen 2017-09-28


Hallo pzktupel,

Zahlen der Form <math>2^n-1</math> besitzen nur selten ein größeres Delay* als jede kleinere Zahl. Für große <math>n</math> sollte sogar die Wahrscheinlichkeit gegen <math>0</math> gehen, dass ein neuer Delay-Rekord* durch eine Zahl der Form <math>2^n-1</math> aufgestellt wird. Außerdem wurde m.E. noch nicht gezeigt, dass alle Zahlen dieser Form tatsächlich ein endliches Delay besitzen.

Viele Grüße A.

* (Eric Roosendaal, On the 3x+1 problem)
    Das Delay <math>D(N)</math> einer Zahl <math>N</math> ist die Anzahl der Collatz-Schritte bis zum erstmaligen Erreichen der 1.



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.335, eingetragen 2017-09-28


@Amateur, das ist wirklich knifflig..hm

Ein UBASIC Programm liefert mir steigende runs zu einer Zahl

man erhält

Zahl N, Runs bis 1
27      112
54      113  54=27*4/2
73      116  73=(54*4+3)/3
97      119  97=(73*4-1)/3
129     122  129=(97*4-1)/3
171     125  171=(129*4-3)/3
231     128  231=(171*4+9)/3
313     131  313=(231*4+15)/3
327     144  327=(3^4*4+3)
649     145
703     171
871     179
1161    182
2223    183
2463    209
2919    217
3711    238
6171    262
10971   268
13255   276
17647   279
23529   282
26623   308
34239   311
35655   324
52527   340
77031   351
106239          354
142587          375
156159          383
216367          386
230631          443
410011          449
511935          470
626331          509
837799          525
1117065         528
1501353         531
1723519         557
.......
hat kein Zusammenhang bis jetzt bzgl Faktoren von N
Wird aber bei euch schon lange bekannt sein.
Dennoch ist auffallend, das darunter keine gerade Zahl außer 54 ist.
 



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Amateur
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.336, eingetragen 2017-09-28


Ist die Zahl <math>N</math> ein Delay-Rekord mit einem Delay <math>D(N)</math>, so existiert auch ein Kandidat <math>2N</math> mit einem Delay von <math>D(N)+1</math>. Gibt es nun zwischen <math>N</math> und <math>2N</math> keinen Delay-Rekord, so kommt der Kandidat in die Rekord-Liste. Diese Fälle treten auch für größere <math>N</math> auf und sind bei Roosendaal, Delay-Records mit der Bemerkung "Double" gekennzeichnet.

Für die bei Roosendaal gelisteten Rekorde ist kein einfaches Schema bekannt. Trotz diverser möglicher Optimierungen bleibt die Rekordsuche ein rechenintensives Unterfangen.

Viele Grüße A.



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.337, eingetragen 2017-09-29


Was mir aufgefallen ist, das nicht selten bei einer Steigerung des runs um genau 3 gilt. In der Tabelle:
N+1 = (N*4-1)/3 oder (N*4+3)/3, gennerell rund 4/3 N
4861,718551,722727 - > 6482,291402,296969
209798,591621,802462 - > 279731,455495,736617



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Amateur
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.338, eingetragen 2017-09-29


Analog zum "Double" gibt es auch den Fall, dass ein Startwert nach nach 3 Schritten auf einen kleineren Delay-Rekord trifft, z.B über *3+1, /2, /2. Dann haben die Delay-Werte eine Differenz von 3 und der Quotient beider Startwerte beträgt etwa 4/3.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.339, eingetragen 2017-10-04


www.hermannscherer.de/home/zitate/


ZITATE VON HERMANN SCHERER
» Unmöglich heißt, dass wir die Lösung bis jetzt noch nicht gefunden haben. «

Wer denkt dass die Collatzvermutung beweisbar ist?



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.340, eingetragen 2017-10-05


2017-10-04 22:36 - juergen007 in Beitrag No. 339 schreibt:
Wer denkt dass die Collatzvermutung beweisbar ist?

Ich bin fest davon überzeugt, dass die Vermutung über die Stoppzeiten bewiesen wird. Es also gezeigt werden kann, dass jede Startzahl eine endliche Stoppzeit besitzt. smile


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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.341, eingetragen 2017-10-08


Hallo, habe vielleicht einen kleinen Baustein gefunden, der weiter hilft.

Durch Testläufe manuell fand ich, dass wenn N=2^x+(2^y-1) ist, finden
y-1 Schritte der Form (3N+1)/2 statt, bevor 3N+1 durch eine höhere Zweierpotenz teilbar ist.

Es müsste also zum Bsp. N=2^20+ 2^17-1 = 1179647 16mal eine Vermehrung stattfinden (3N+1)/2.

Mann könnte fast meinen, unendlicher run wäre nur denkbar, wenn am Ende
der y-1 Schritte nach der Division einer Zweierpotenz exakt wieder eine Zahl der Form 2^x+2^y-1 entstünde, was ich nicht vermute.

Anders müsste ja 2^r * ( 2^n+2^a-1 ) = 2^p+ 2^q-1 sein. Das ist ein Widerspruch, da die eine Seite eine gerade und die andere Seite ungerade ist. Somit gibt es keinen unendlichen Run...außer 4,2,1

Liefert N=2^8+2^5-1=287 vier Erhöhungen ?

287-431-647-971-1457-4*1093- (1093*3+1)= 16* 205 (vergleiche mit 64 * 205 unten ), ja tut es

Liefert N=2^8+2^7-1=383 sechs Erhöhungen ?

383-575-863-1295-1943-2915-4373-64*205 , ja tut es

Ferner bin ich überzeugt, das der Schlüssel des Problems nicht in der Dualzerlegung zu finden ist, sondern die Zerlegung in Mersennezahlen.
Es gilt N=2^n+2^a-1= 2^n-1+2^a-1+2^1-1.

Ich wette, das N=2^30-1+ 2^19-1+2^1-1 erstmal 18 Erhöhungen generiert.

Schlußwort für heute. Sobald N <> 2^a-1 + 2^b-1 + 2^1-1 ist, gibt es keine b-1 Erhöhungen und die Zweierpotenz ist dann größer 2^1 und mindert somit das 3fache auf ein Viertel ... es geht gegen 4-2-1 letztendlich.



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.342, eingetragen 2017-10-08


2017-10-08 21:18 - pzktupel in Beitrag No. 341 schreibt:
Durch Testläufe manuell fand ich, dass wenn N=2^x+(2^y-1) ist, finden
y-1 Schritte der Form (3N+1)/2 statt, bevor 3N+1 durch eine höhere Zweierpotenz teilbar ist.

Eine Zahl z der Form:
<math>z = 2^x \cdot u - 1; x \in \IN^0, u \in U</math>
(U dabei die ungeraden, natürlichen Zahlen)

Ist für x Collatz-Schritte ungerade... nach k ungerade Collatz-Schritten [der Form (3z+1)/2] ergibt sich dabei die Zahl:
<math>C^k(z) = 3^k \cdot 2^{x-k} \cdot u - 1; k \leq x</math>

Entsprechend nach x ungeraden Collatz-Schritten:
<math>C^x(z) = 3^x \cdot u - 1</math>

Und diese Zahl hat dann mindestens einen geraden Collatz-Schritt...


Angewendet auf dein Zitat, wobei du sicherlich x > y meinst:
<math>z = 2^x + 2^y - 1 = 2^y \cdot (2^{x-y} + 1) - 1\\
\to C^y(z) = 3^y \cdot (2^{x-y} + 1) - 1</math>


Also, es sind y solcher Schritte (nicht y-1) und man kann es noch etwas allgemeiner fassen ^^



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.343, eingetragen 2017-10-08


2017-10-08 22:19 - MartinN in Beitrag No. 342 schreibt:
2017-10-08 21:18 - pzktupel in Beitrag No. 341 schreibt:
Durch Testläufe manuell fand ich, dass wenn N=2^x+(2^y-1) ist, finden
y-1 Schritte der Form (3N+1)/2 statt, bevor 3N+1 durch eine höhere Zweierpotenz teilbar ist.

Eine Zahl z der Form:
<math>z = 2^x \cdot u - 1; x \in \IN^0, u \in U</math>
(U dabei die ungeraden, natürlichen Zahlen)

Ist für x Collatz-Schritte ungerade... nach k ungerade Collatz-Schritten [der Form (3z+1)/2] ergibt sich dabei die Zahl:
<math>C^k(z) = 3^k \cdot 2^{x-k} \cdot u - 1; k \leq x</math>

Entsprechend nach x ungeraden Collatz-Schritten:
<math>C^x(z) = 3^x \cdot u - 1</math>

Und diese Zahl hat dann mindestens einen geraden Collatz-Schritt...


Angewendet auf dein Zitat, wobei du sicherlich x > y meinst:
<math>z = 2^x + 2^y - 1 = 2^y \cdot (2^{x-y} + 1) - 1\\
\to C^y(z) = 3^y \cdot (2^{x-y} + 1) - 1</math>


Also, es sind y solcher Schritte (nicht y-1) und man kann es noch etwas allgemeiner fassen ^^

Bin nicht so firm mehr in Mathesyntax lesen...
Ja, x>y . Ich mein y-1 Schritte, der y. Schritt liefert eine höhere Zweierpotenz und die neue Zahl fällt somit wieder kleiner aus.
Sollte die neue Zahl nach y Schritten wieder eine Zahl der Form N=M(a)+M(b)+1 liefern, erhöht sich um b-1 Schritten fortlaufend die Zahlen. Da aber die Menge der natürlichen Zahlen mit der Bildungsform M(a)+M(b)+1 stark unterminiert ist, wird durch höhere Zweierpotenzen das Resultat gen 4-2-1 immer laufen. Fällt N direkt auf M(a) , ist nach dem a. Schritt eine höhere 2er Potenz zu erwarten. Wie es dann weitergeht entscheidet sich nach dem M(n)-Aufbau der Zahl selbst.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.344, eingetragen 2017-10-17


Ich habe die Hypothese aufgestellt, dass für alle x < 256 , n beliebig gilt:

D(x) sei 8 oder kleiner, wobei D(x) die Anzahl der doublesteps (3x+1)/2 bis 1 ist.

Hypothese 0:
n*256 +x geht in weniger als 9 doublesteps in stoptime.

Habe das bis ca. 16384 also n = 64 verifiziert, falls ich mich nicht vertan habe.

Beispiel:
65, 196, 98, 49, 148, 74, 37, 112, 56, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1  hat 8 dsteps bis 1.

65 + 2^14 = 65 + 2^8 *2^6 = 16449:
16449, 49348, 24674, 12337 stop nach 1 dstep.

Vielleicht kann das jemand mit einem schnelleren Programm nach oder weiter rechnen?
Danke







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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.345, eingetragen 2017-10-17


äh... es ist halt so, dass es für die ersten 8 schritte nur von dem lsb des terms x abhängt, ob ein (3x+1)/2 oder ein /2 Schritt durchgeführt wird ( da gerade+ungerade = ungerade und gerade+gerade=gerade ist). damit verschwindet nach voraussetzung der term x während im vorderen teil die 2-en verbraucht werden. Eigentlich ist das damit doch nur eine anwendung des siebes, wie wir sie auch bisher schon haben? diejenigen x die innerhalb von 8 schritten auf 1 gehen werden eben ausgesiebt...




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blindmessenger hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
blindmessenger hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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