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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Körperautomorphismus von IQ
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Autor
Universität/Hochschule Körperautomorphismus von IQ
lseig200
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.01.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-01-10 22:59


Hallo,

ich lerne momentan für eine Prüfung und komme bei folgender Aufgebe nicht weiter (beziehungsweise habe auch keinen Ansatz) :

Zeigen Sie, dass der einzige (Körper-)Automorphismus von Q die Identität ist.

Also was ein Homomorphismus ist habe ich verstanden.
Aber die Begriffe Automorphismus, Endomorphismus und Isomorphismus weiß ich zwar von der Theorie aber ich weiß nicht wie man das konkret zeigen kann.
Und was ist die Identität von Q?
Kann ich sagen ich nehme einfach ein Element a aus Q und dass dann Φ(a)=a ist oder wie?

Und dann mit dem Homomorphismus sowas wie:

a,b element aus Q.

φ(a+b)=φ(a)+φ(b) und φ (ab) =φ(a)⋅φ(b)

Stimmt das?
Und wie zeige ich dann, dass das der einzige Automorphismus ist?

Ich bitte um einfach verständliche Antworten.

Danke schonmal:-)



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Bai
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2014
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-01-10 23:34


Hi,

es muss immer <math>\varphi(1)=1</math> sein. Damit ist <math>\varphi(2)=\varphi(1+1)=\varphi(1)+\varphi(1)=1+1=2</math> usw., also sind dadurch schon alle ganzen Zahlen festgelegt. Was ist nun mit beispielsweise <math>\varphi(\frac{2}{3})</math>?



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lseig200
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.01.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-11 16:14


Hallo,

danke für deine Antwort!

phi(2/3) = 2/3. Da ja jedes Element auf sich selbst abgebildet wird wie dies beim Automorphismus üblich ist.



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helmetzer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 935
Aus: Helmbrechts, Franken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-01-11 16:48


Moin, mit dieser (üblicherweise falschen) Begründung wirst du wohl nicht durchkommen.



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D0minik
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.10.2016
Mitteilungen: 17
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-01-11 16:49


Nein, dann wäre hier nichts zu zeigen.
Ein Automorphismus ist nicht automatisch die Identität.
Das möchtest du ja gerade beweisen.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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lseig200
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.01.2017
Mitteilungen: 6
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-11 23:33


wie wäre es hirmit? :
zu zeigen phi(n) = n , n element IN

IA: phi(1) = 1
IV: Es gibt ein n element IN, sodass phi(n) = n
IS: n -> n + 1
phi(n + 1) = phi(n) + phi(1) = phi(n) + 1
mit IV folgt phi(n + 1) = n + 1

Dann die Erweiterung auf IZ:

Sei x element IZ.

Dann ist 0 = phi(0) = phi(x + (-x)) = phi(x) + phi(-x)
-> phi(-x) = -x

Und schließlich die Erweiterung auf IQ:
Seien x, y element IZ.

x = phi(x) = phi(x * 1) = phi(x * y/y) = phi(x/y * y) = phi(x/y) *phi(y)
= phi(x/y) * y
->phi(x/y) = x/y

Stimmt das so?



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 329
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-01-11 23:47


Ja, gut gemacht (wobei du noch <math>y\not = 0</math> voraussetzen musst  razz  )

Red



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lseig200
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-12 00:18


Okay danke:)



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