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Analysis » Funktionalanalysis » Deltafunktion und principal value
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Universität/Hochschule Deltafunktion und principal value
Approxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-01-11 21:19


Guten Abend,

ich soll die folgenden Aufgaben lösen und weiß nicht so recht wie das ganze zeigen soll

1)<math>x \delta_0 = 1</math> auf dem Blatt steht komischerweise nicht was x ist

Ich lasse den obrigen Ausdruck dann mal auf eine Testfunktion wirken

<math>(x\delta_0)(\varphi)=\delta_0(x\varphi)</math>

Ich weiß, dass <math>\delta_0(\varphi)=\varphi(0)</math> gilt. Weiß aber nicht wie ich weitermachen soll

2) <math>x(p.v. x^{-1})=1</math> wobei <math>p.v.x^{-1}(\varphi)=p.f.\int_{\mathbb R}^{}\frac{\varphi(x)}{x}dx = ln(\epsilon) \varphi(0) (\int_{\epsilon}^{\infty} \frac{\varphi(x)}{x}dx + \int_{-\infty}^{\epsilon}\frac{\varphi(x)}{x}dx)</math>.

Hieraus ist mir leider auch nicht ersichtlich, warum das ganze 1 werden soll



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ElMachete
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-01-12 00:00


Hallo Approxxx,

bei der 1) ist für eine Distribution $u$d die Multiplikation über <math>(x \cdot u)(\phi) = u(x \cdot \phi) </math> erklärt mit <math>x \cdot\phi := x \mapsto x\phi(x)</math>, also einfach die Multiplikation von der Funktion. Das gehört in die Kategorie "Missbrauch der Notation", ist aber ziemlich praktisch (wenn auch gefährlich). Die Aufgabe sollte wohl <math>x\delta_{0} = 0</math> lauten (ausser es sollte in 1 ausgewertet werden oder Ableitungen im Spiel sein).

In 2) ist die Definition der Hauptwertdistribution nicht komplett, da sollte noch ein Limes dazugehören. Die Aufgabe sollte sich ziemlich schnell mit der Erkenntnis von 1) lösen lassen.

Cheers,
Dominik



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Approxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-12 19:03


Danke für deine Antwort. Die erste Teilaufgabe ist richtig vom Aufgabenblatt übernommen. Also ist die Aufgabe fehlerhaft?

zur 2) Kannst du mir da ein gutes Script bzw. Buch empfehlen wo das gut erklärt ist. Aus der Vorlesung selbst ist es mir nicht klar geworden.



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ElMachete
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-01-12 19:38


Es ist <math>(x \cdot \delta_{0})(\phi)=\delta_{0}(x \cdot \phi) = 0 \cdot \phi(0) = 0</math> und damit die Aufgabe so falsch.

Ein Buch das mir persönlich geholfen hat wäre Lars Hörmander's "The Analysis of Linear Partial Differential Operators I" an (ist nicht mehr ganz frisch und relativ dicht). Weitere Empfehlungen an Literatur kann ich Dir leider nicht geben, da ich selber keinen guten Überblick über diese habe.



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Approxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-12 21:03


Ich habe mir gerade etwas zum Cauchy Hauptwert durchgelesen und anschließend zur Hauptwertdistribution (leider habe ich keine Beispiele gefunden) jedoch ist die Idee klar.
<math>\frac{1}{x}</math> ist nicht lokal integrierbar, definiert also keine reguläre Distribution. Trotzdem kann man mit dieser Funktion eine Distribution definieren.

Ich habe mal versucht p.v 1/x zu bestimmen komme aber nicht weiter

<math>p.v \frac{1}{x}(\phi)= \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} (\int_{-\infty}^{-\epsilon} + \int_{\epsilon}^{+\infty}) \frac{\phi(x)}{x}dx</math>

Um das ganze zu vereinfachen, habe ich erstmal nur ein Integral ausgewertet (wenn ich das Prinzip verstanden sollte ich es ja problemlos für beiden hinkriegen)

<math>        p.v \frac{1}{x}(\phi)= & \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} ( \int_{\epsilon}^{+\infty} \frac{\phi(x)}{x}dx )
=& \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} ( -\int_{\epsilon}^{+\infty} ln(x)\phi '(x) dx - [ln(\epsilon) \phi(\epsilon)])</math>

Weiter komme ich nicht. Mein Ziel ist es am Enden zu zeigen, dass

<math>p.v \frac{1}{x}=\frac{d}{dx}ln(x)</math> ist.



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Gockel
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Aus: Jena
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-01-12 21:20


Wieso denn das? Die Aufgabe verlangt doch von dir, <math>x\cdot pv\frac{1}{x} = 1</math> zu zeigen. Mach lieber das doch.
(Vor allem ist <math>\ln(x)</math> keine reguläre Distribution, der erste Schritt ist also erstmal überhaupt zu definieren, was das heißen soll, bevor du damit irgendwas zeigst)

mfg Gockel.


-----------------
"Der Vatikan hat ja bekanntlich zwei Mikropäpste pro Quadratmeter"



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Approxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-13 08:30


Wenn ich zeige, dass p.v. 1/x = Ableitung ln(x) ist. Dann folgt daraus ja, dass x * p.v. 1/x = 1 ist.

Ich weiß aber leider nicht wie ich p.v. 1/x auswerte. Deswegen hatte ich eine Vereinfachung vorgenommen, wo ich aber auch nicht weitergekommen bin.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-01-13 11:13


Hallo,

du brauchst <math>p.v. \frac1x</math> nicht auszuwerten.

wenn <math>T</math> eine Distribution ist, was ist dann <math>x\cdot T</math>, angewendet auf eine Testfunktion?

Wally



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Approxxx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-13 20:10


<math>(x \cdot T) (\phi)=T (x\cdot \phi)</math> wobei mein <math>T=p.v \frac{1}{x}</math> ist.
 
Wenn ich das jetzt in die Definition einsetze und das Integral (Phi hat kompakten Träger) + Grenzwert bestimme kommt

<math>\phi(0)-\phi(0)=0 </math> raus, es sollte aber laut Aufgabenstellung gleich 1 sein.



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-01-13 20:16


Dann rechne noch einmal nach.

mfg Gockel.



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