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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-01-11 22:58


Hallo Zusammen,

Die Folgende Aufgabe ist eine echte Vorjahsresprüfungsaufgabe.
Die Schwierigkeit liegt darin, dass für Absolutbetrag und für die Determinante einer Matrix ganau dasselbe Zeichen "||" verwendet wird.

Meine Lösung hat einfach ein anderes Vorzeichen als die Musterlösung und ich frage deshalb lieber auf MP nach.

Sei <math>f\in L^1(\mathbb{R}^2)</math> sodass <math>\int_{\mathbb{R}^2} f(x,y) dxdy=1}</math>
Berechne <math>\int_{\mathbb{R}^2}f(x+2y,2x+y)} dxdy</math>

Lösung:
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Ist das so richtig oder nicht?

Es juckt einfach im linken Auge zu sehen: |J|=-3 weil ein Absolutbetrag niemals negativ ist.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-01-12 13:46


Hey sulky,

der Transformationssatz interessiert sich nur für den Betrag der Determinante von <math>J</math>



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-12 15:57


Hallo Kampfpudel, also doch.

Hier hat man offensichtlich ein Problem mit der Notation,
<math>\|J\|</math> kann man für den Betrag der Determinante ja auch nicht schreiben, sonst sieht es ja aus wie die Norm.

Vielleicht |det(J)| oder abs(|J|).

Also dann ist das Beispiel, wie ich es in Beitrag 1 geschrieben habe falsch?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-01-12 16:33


Hey,

ja, daswegen bin ich auch kein Freund davon die Determinante einer Matrix mit <math>| \cdot |</math> zu bezeichnen, wenn man die Determinante nicht gerade ausschreibt. Will man den Betrag einer Determinante schreiben, müsste man dann in der Tat <math>|| \cdot ||</math> schreiben und das sieht mindestens mal blöd aus, da das keine Norm ist. Nimm daher lieber den Ausdruck det für die Determinante, damit machst du nichts falsch und jeder weiß, was gemeint ist.

Und ja, so wie es in Beitrag 1 steht, ist das Vorzeichen falsch



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-12 19:12


hmmm, also ich mache mal ein Beispiel, welches so einfach ist, dass das es überblickbar ist.

<math>\int_{x=2}^{x=4}\sqrt{10-2x} dx</math> mit der substitution
<math>10-2x=u</math> die Jacobideterminante nun <math>J_u=\frac{\partial u}{\partial x}=-2</math>

Eingesetzt:
<math>\int_{x=2}^{x=4}\sqrt{u} \frac{du}{J}=-\frac{1}{2}\int_{x=2}^{x=4}\sqrt{u} du</math>

Das Vorzeichen ist an dieser Stelle Negativ, dies wird sich aber ändern, wenn ich die Integralgrenzen anpasse.


Frage: Gibt es eine anschauliche erklärung, weshalb hier die Jacobideterminante und nicht deren absolutbetrag zu nehmen ist?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-01-13 11:53


2017-01-12 19:12 - sulky in Beitrag No. 4 schreibt:


Eingesetzt:
<math>\int_{x=2}^{x=4}\sqrt{u} \frac{du}{J}=-\frac{1}{2}\int_{x=2}^{x=4}\sqrt{u} du</math>

Das Vorzeichen ist an dieser Stelle Negativ, dies wird sich aber ändern, wenn ich die Integralgrenzen anpasse.


Warum ersetzt du denn nicht die alten durch die neuen Grenzen? Mit den alten Grenzen ist das schlicht weg falsch.

Du hast hier versucht die Substitutionsregel anzuwenden, die der eindimensionale Spezialfall der Transformationsregel ist.

Die Substitutionsregel sieht ja wie folgt für <math>a<b </math> und geeignete <math>f</math> und <math>g</math> aus:
<math>\int_a^b f'(g(x)) \cdot g'(x) ~dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(y) ~dy</math>.

Hier kann <math>g'</math> natürlich auch negativ sein, o.B.d.A sei mal <math>g'</math> überall negativ.
Bei der Transformationsregel würdest du nun <math>|g'(x)|</math> dort stehen haben, also das Vorzeichen umdrehen. Allerdings integrierst du bei der Transformationsregel auch nicht so:
<math>\int_{g(a)}^{g(b)}</math>, sondern so:
<math>\int_{g([a,b])}</math>
Ist <math>g'</math> überall negativ, ist <math>g</math> monoton fallend, das heißt <math>g(b) \leq g(a)</math>. Dann ist <math>g([a,b])=[g(b), g(a)]</math> und NICHT <math>[g(a), g(b)]</math>!
Daher ist, salopp geschrieben:
<math>\int_{g([a,b])} = \int_{g(b)}^{g(a)} = - \int_{g(a)}^{g(b)}</math>, was das unterschiedliche Vorzeichen bei Substitutionsregel und Transformationsregel wieder berichtigt.



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