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Mathematik » Geometrie » Lie-Algebra zu Blockmatrizen
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Universität/Hochschule Lie-Algebra zu Blockmatrizen
flori
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-01-12 10:23


Hi  wink

Ich betrachte die Lie-Untergruppe von O(2n) aller Blockmatrizen der Form

<math>A:=\begin{pmatrix}
A_{11} && 0 && A_{13} && 0\\
0 && A_{22} && 0 && A_{24}\\
A_{31} && 0 && A_{33} && 0\\
0 && A_{42} && 0 && A_{44}
\end{pmatrix}</math>

mit <math>\begin{pmatrix}A_{11} && A_{13} \\ A_{31} && A_{33}\end{pmatrix}\in O(4)</math> und <math>\begin{pmatrix} A_{22} && A_{24} \\ A_{42} && A_{44}\end{pmatrix} \in O(2(n-2))</math>.

Wie kriege ich denn die zugehörige Lie-Subalgebra von <math>\mathfrak{so}_{2n}</math>??
Ich könnte theoretisch den Tangentialraum an der Identität betrachten, das erscheint mir allerdings ziemlich schwer...

Danke im Voraus!



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flori
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-12 11:51


Die Frage konnte ich relativ einfach durch den Diffeomorphismus
<math>f: O(4)\times O(2(n+2))\to K, \left(\begin{pmatrix}A_{11}&& A{13}\\ A_{31} && A_{33}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}A_{22}&& A{24}\\ A_{42} && A_{44}\end{pmatrix}\right)\mapsto \begin{pmatrix}A_{11}&& 0 && A{13} &&0\\ 0 && A_{22}&&0&&A_{24} \\A_{31} && 0&& A_{33} &&0\\0&&A_{42}&&0&&A_{44}\end{pmatrix} </math>
beantworten, wobei <math>K</math> die betrachtete Lie-Untergruppe der Blockmatrizen darstellen soll.

Jetzt stellt sich mir aber ferner die Frage, wie die Lie-Algebra zur Lie-Untergruppe
<math>\tilde{K}:=\left\lbrace\begin{pmatrix}a&&b&&c&&d\\e&&f&&g&&h\\e&&i&&j&&h\\k&&l&&m&&n\end{pmatrix}\bigg\vert f+g=i+j\right\rbrace\subset O(4)</math> ausschaut?
Ich wollte mir nun analog einen Diffeomorphismus zwischen <math>O(3)</math> und <math>\tilde{K}</math> konstruieren, das ist aber nicht so einfach..



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flori
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-12 12:54


Ich habe nun den Tangentialraum <math>T_{Id_4}\tilde{K}</math> mit Hilfe des Satzes vom regulären Wert und der Abbildung

<math>l: O(4)\to \mathbb{R}^3, \begin{pmatrix}a_{11}&&a_{12}&&a_{13}&&a_{14}\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}&&a_{24}\\a_{31}&&a_{32}&&a_{33}&&a_{34}\\a_{41}&&a_{42}&&a_{43}&&a_{44}\end{pmatrix}\mapsto \left(a_{21}-a_{31},a_{24}-a_{34},a_{22}+a_{23}-a_{32}-a_{33}\right)</math>

mit <math>l^{-1}((0,0,0))=\tilde{K}</math> bestimmt, indem ich

<math>T_{p}\tilde{K} = ker(T_p l)</math> für <math>p=Id_4</math> genutzt habe.

Damit erhält man für die Lie-Algebra <math>\tilde{\mathfrak{k}}</math> von <math>\tilde{K}</math>
<math>\tilde{\mathfrak{k}}= T_{Id_4}\tilde{K} = \left\lbrace\begin{pmatrix}0&& a&& a&& b\\-a&&0&&0&&c\\-a&&0&&0&&c\\-b&&-c&&-c&&0\end{pmatrix}\bigg\vert a,b,c\in\mathbb{R}\right\rbrace\subset \mathfrak{so}_4</math>

Kann mir jemand sagen, ob meine Ausführungen stimmen??



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