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Moderiert von Buri Gockel
Mathematik » Strukturen und Algebra » Multivariates Polynom
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Universität/Hochschule Multivariates Polynom
BachBach
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-01-12 11:04


Hallo,

Ich soll folgendes zeigen:
Sei <math>p(x,y) \in K[x,y]</math> wobei <math>p(x,y)=0</math> für alle <math>(x,y) \in X \times Y</math>, wobei <math>X,Y</math> endlich. Dann gilt <math>p(x,y) = 0</math>.

Ich habe bisher den Ansatz verfolgt das Polynom <math>p(x,y)</math> als Polynom aus <math>K[y]</math> zu betrachten mit Koeffizienten aus <math>K[x]</math>. Dann kann ich nämlich mit dem Grad des Polynoms argumentieren.

Ich habe dann <math>X,Y</math> so gewählt, das gilt <math>|X|,|Y| > n</math> für <math>p(x,y)</math> Grad n. Kann mir jemand sagen ob das Zielführend ist? (So war auch der Ansatz im Skript (1. Semester LA1)

Ich sage dann, dass für jedes <math>x \in X</math> ist <math>p(x,y) = 0</math> für jedes <math>y \in Y</math> und damit habe ich ja schon <math>>n</math> Nullstellen. Dann muss aber nach Gradsatz das Polynom das Nullpolynom sein.
Viele Grüße,

BachBach



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-01-12 11:55


Du hast geschrieben, dass X,Y endlich sind. Sie sollen vermutlich unendlich sein? Dein Ansatz ist auf jeden Fall richtig, nur noch etwas unpräzise aufgeschrieben.



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BachBach
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-12 12:15


Den Fall unendlich haben wir schon im Skript besprochen. Es geht jetzt eigentlich nur noch um den endlichen Fall. Und da kann man ja über den Grad argumentieren dachte ich.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-01-12 12:16


Die Aussage ist aber so falsch. Betrachte zum Beispiel <math>p(x,y)=x^2+y^2</math>, <math>X=Y=\{0\}</math>.

Ich denke, dass es hier eigentlich um ein anderes Problem geht, das aber noch nicht genannt worden ist.



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BachBach
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-12 12:24


Ich wähle ja <math>X,Y</math>, so dass <math>|X|, |Y| > n</math> um genau das zu vermeiden dachte ich.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-01-12 12:25


Was ist die genaue Aufgabenstellung?

Und was verstehst du unter dem Grad eines Polynoms in zwei Variablen? Es gibt den Totalgrad, den x-Grad, den y-Grad.



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BachBach
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-12 12:29


Unter dem Grad des Polynoms verstehe ich in diesem Fall den <math>y</math>-Grad, da ich das Polynom als Polynom über <math>K[Y]</math> auffasse, mit Koeffizienten in <math>K[X]</math>.

Die Aufgabe lautet:
Sei <math>p(x,y) \in K[X,Y]</math> mit <math>p(x,y)=0</math> für alle <math>(x,y) \in X \times Y</math> mit <math>X,Y \subseteq K </math>endlich. Dann gilt <math>p(x,y) = 0</math>

Dabei steht noch geschrieben, dass man sich erst Gedanken über eine Bedingung für <math>X,Y</math>  machen soll.



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