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Topologie » Mengentheoretische Topologie » Kanonische Projektionen im Produktraum offen?
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Universität/Hochschule J Kanonische Projektionen im Produktraum offen?
grezebeze
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-01-12


Lieber Matheplanet.

Ich habe folgende Schwierigkeit. Es handelt sich um diese Aufgabe:

Betrachten Sie den Produktraum <math>\mathrm{X = \prod_{i \in I} X_i }</math> für <math>\mathrm{i=1,2}</math>. Zeigen Sie, dass die kanonischen Projektion <math>\mathrm{p_i : X \to X_i}</math> offen sind.

Ich würde dazu sehr gerne eine ausführliche bzw. korrekte Lösung sehen. Etliche Internetrecherchen lieferten keine zufriedenstellende Ansätze.
Mein Ansatz wäre:

Sei <math>U \subset X_j</math> offen für <math>j \in I</math>. Dann ist <math>p_i^{-1}(U) = \prod_{i\in I} U_i</math> wobei <math>U_i=U</math> für i=j und <math>U_i=X</math> für <math>i \neq j</math>.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 2911
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-01-12


Die Angabe i=1,2 ist verwirrend. Soll das I = {1,2} heißen? Die Indexmenge kann aber tatsächlich beliebig sein, die Projektionen vom Produkt sind immer offen.

Dein Ansatz ist nicht zielführend. Es muss von einer offenen Menge im Produkt ausgegangen werden. Jede solche ist eine Vereinigung von "Boxen", und daher reicht es, die Projektion dieser "Boxen" anzuschauen. Damit meine ich die offenen Mengen im Produkt der Form <math>B=\prod_j U_j</math>, wobei <math>U_j \subseteq X_j</math> offen ist, und fast alle <math>U_j=X_j</math> sind. Man kann ferner annehmen, dass jedes <math>U_j</math> nichtleer ist, weil ansonsten <math>B</math> und damit auch <math>p_i(B)</math> leer ist. Du kannst nun ganz einfach das Bild <math>p_i (B)</math> ausrechnen.



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