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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Kerne zweier Funktionale gleich
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Universität/Hochschule Kerne zweier Funktionale gleich
LeSissi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-01-12


Sei V ein Vektorraum und <math>\alpha, \beta \in V^{\*}</math> zwei nicht-triviale lineare Funktionale <math>(\alpha \not=0, \beta \not=0)</math>. Zeige, dass die Hyperebenen <math>ker(\alpha), ker(\beta)</math> genau dann
übereinstimmen, wenn  <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> existiert, sodass <math>\beta= \lambda \alpha</math>

Hallo,
Die Rückrichtung ist klar.
Sei nun <math>ker(\alpha)=ker(\beta)</math>
Zu jeden Teilraum gibt es einen komplementären Teilraum, sei also W der komplementäre Teilraum zu <math>ker(\alpha)=ker(\beta)</math>, d.h. <math>V= ker(\alpha) \oplus W</math>
Für <math>v \in ker(\alpha)</math> gilt <math>(\lambda\alpha-\beta)(v)=\lambda \alpha (v) - \beta(v)= \lambda*0-0=0</math>. Ich muss also <math>\lambda</math> hier nicht einschränken und kann beliebig wählen für <math>v \in ker(\alpha)</math>.

Für <math>v \in W</math> ist <math>\alpha(v) \not=0, \beta(v)\not=0</math> da der kern von den Funktionalen und W leeren durchschnitt haben.
Nun würde ich aber <math>\lambda= \beta(v)/\alpha(v)</math> in Abhängigkeit von <math>v\in W</math> definieren was ja nicht sein darf?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 2911
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-01-12


Wähle ein festes <math>v_0 \in V</math> mit <math>\alpha(v_0)=1</math>. Definiere <math>\lambda := \beta(v_0)</math>.

Zu zeigen ist nun also, dass <math>\beta(v)=\lambda \alpha(v)</math> für alle <math>v \in V</math> gilt.
 
Das kann man jetzt auch etwas umständlicher schreiben als

<math>\alpha(\beta(v) v_0) = \alpha(\lambda v).</math>

Kommst du damit weiter?



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