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Mathematik » Numerik & Optimierung » Linearoptimierungs-Problem : Möglichkeiten finden
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Universität/Hochschule Linearoptimierungs-Problem : Möglichkeiten finden
mathletic
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-02-13 13:32


Hallo,

ich gucke mir folgende Aufgabe an:

Zur Produktion eines Produktes werden jeweils 3 rechteckige Platten A mit den Massen 300x500mm und jeweils 2 rechteckige Platten B mit den Massen 400x600mm benötigt.
Diese Platten müssen aus zwei verschiedene Rohlingen mit Massen 1000x1000mm (Typ I) und 600x1500mm (Typ II) zugeschnitten werden.
Beim Zuschneiden ist zu beachten, dass Platten aus technologischen Gründen immer durchgeschnitten werden, d.h. blosses Einschneiden ist nicht möglich.

Es sollen insgesamt 500 Produkte gefertigt werden. Die Kosten pro Rohling sind proportional seiner Fläche, d.h., hat ein Rohling vom Typ I einen Einheitspreis von 1GE, dann kostet ein Rohling vom Typ II 0.9GE (<math>1000000mm^2 \text{ zu } 900000mm^2</math>).

Es gibt 4 Möglichkeiten, aus einem Rohling vom Typ I Platten A und/oder B zu schneiden:
(1) 4A (Abfall 16%)
(2) 3A, 1B (Abfall 13%)
(3) 1A, 2B (Abfall 31%)
(4) 3B (Abfall 28%)

Es gibt 3 Möglichkeiten, aus einem Rohling vom Typ II Platten A und/oder B zu schneiden:
(5) 4A (8% Abfall)
(6) 2A, 2B (Abfall 0%)
(7) 3B (Abfall 24%)

Versuchen Sie, die Möglichkeiten zu finden.

Formulieren Sie das Zuschnittproblem als LO-Problem. <math>x_1, x_2, \ldots , x_7</math> bezeichnen die Anzahl der Rohlinge, die nach den Schnittplänen (1), (2), ... , (7) notwendig sind. Minimiert werden sollen die Kosten für die Rohlinge.



Ich habe nicht verstanden was für Möglichkeiten wir finden sollen. Könnt ihr mir ein Tipp geben?  



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-13 16:19


Du sollst skizzieren, wie die angegebenen Anzahlen von A- und B-Platten auf einer Typ-I bzw. Typ-II-Platte zu platzieren sind und in welcher Reihenfolge die Schnitte durchzuführen sind.

Übrigens: Die von Dir angegebene Größe der Platte A ist falsch. Richtig ist vermutlich 300x700mm.



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mathletic
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 10:58


2017-02-13 16:19 - Kitaktus in Beitrag No. 1 schreibt:
Übrigens: Die von Dir angegebene Größe der Platte A ist falsch. Richtig ist vermutlich 300x700mm.

Achso.


2017-02-13 16:19 - Kitaktus in Beitrag No. 1 schreibt:
Du sollst skizzieren, wie die angegebenen Anzahlen von A- und B-Platten auf einer Typ-I bzw. Typ-II-Platte zu platzieren sind und in welcher Reihenfolge die Schnitte durchzuführen sind.

Also für (1) 4A (Abfall 16%) haben wir zum Beispiel folgendes:




Aber ist die Prozentzahl nicht dann die folgende?

<math>\frac{100\times 700}{1000\times 700}+\frac{300\times 300}{1000\times 300}=\frac{10}{100}+\frac{30}{100}=\frac{40}{100}</math>
Also <math>40\%</math> ?



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mathletic
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 15:26


Was genau meinst du mit
2017-02-13 16:19 - Kitaktus in Beitrag No. 1 schreibt:
in welcher Reihenfolge die Schnitte durchzuführen sind.
?



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-02-17 15:48


a) Der Abfall ist (100*700 + 300*300) / (1000*1000) = 16%.

b) Eine Anforderung ist, dass Platten immer komplett _durchgeschnitten_ werden. Es gibt Kombinationen von Platten, die zwar auf die großen Rohlinge passen, aber so nicht ausgeschnitten werden können. Z.B. vier Platten der Größe 4 x 5 passen auf einen Rohling der Größe 9 x 9, lassen sich aber nicht mit durchgehenden Schnitten ausschneiden.

Um nachzuweisen, dass die Anforderung erfüllt ist, kann es notwendig sein, dass man angibt, in welcher Reihenfolge die Schnitte durchführt werden. Das kann auch bei der Prüfung helfen, ob alle Platten draufpassen.

Eine Reihenfolge zu finden, wenn es sie denn gibt, ist nicht schwer. Bei vier Platten kann man das sicher durch "draufschauen" lösen.



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mathletic
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 15:55


2017-02-17 15:48 - Kitaktus in Beitrag No. 4 schreibt:
Eine Anforderung ist, dass Platten immer komplett _durchgeschnitten_ werden.

Also müssen wir gucken wann man keine Abfälle hat? Oder was bedeutet dass die Platten "komplett durchgeschnitten werden" ?


Mit den 7 Schnittpläne formulieren wir die Zielfunktion?



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-02-17 16:11


"komplett durchschneiden" heißt nicht, dass es keinen Abfall gibt. Es heißt, dass man mit jedem Schnitt eine Platte immer komplett durchschneidet. Man kann nicht mittendrin anhalten und dann z.B. senkrecht dazu schneiden.

Die Formulierung als lineares Optimierungsproblem ist dann relativ simpel.
Wenn man xi mal die Möglichkeit i wählt, was muss dann gelten, damit man 500 Produkte herstellen kann (Nebenbedingungen)?
Wie groß sind die entstehenden Kosten (Zielfunktion)?



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mathletic
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 16:53


Es gilt dass zur Produktion eines Produktes jeweils 3 rechteckige Platten A und jeweils 2 rechteckige Platten B benötigt werden.

Da wir 500 Produkte produzieren wollen, und da in den Pläne (1), (2), (3), (5), (6) A-Platten vorkommen, brauchen wir 3*500=1500 A-Platten.

Und da in den Plänen (2), (3), (4), (6), (7) B-platten vorkommen, brauchen wir 2*500=1000 B-Platten.

Das bedeutet dass <math>4x_1+3x_2+x_3+4x_5+2x_6\geq 1500</math> und <math>x_2+2x_3+3x_4+2x_6+3x_7\geq 1000</math>, oder nicht?

Sind diese 2 die Nebenbedingungen?





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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-02-17 22:06


Ja, das sind die Nebenbedingungen.



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mathletic
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 22:29


Wir wollen die Kosten für die Rohlinge minimieren. Ist das äquivalent dass wir die Abfälle minimieren wollen?  



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