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Analysis » Folgen und Reihen » Reihen auf Konvergenz untersuchen
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Universität/Hochschule Reihen auf Konvergenz untersuchen
fennek190
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 14.02.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-02-15


Guten Tag,
ich bereite mich zurzeit auf eine Analysis Klausur vor und bin gerade dabei das Untersuchen von Reihen auf Konvergenz zu wiederholen.

Ich habe aus einer Beispiel Klausur 3 Reihen gegeben, die auf Konvergenz untersucht werden sollen.
Diese sind:

a) fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

b) fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

c)   fed-Code einblenden
fed-Code einblenden


Meine Rechnungen:
zu a)
Ich habe zuerst den Ausdruck "hoch 5" genommen, um die Wurzel zu "entfernen". Geht das in Ordnung, gibt es einen eleganteren Weg?
Dann weiter mit Quotientenkriterium:

fed-Code einblenden

Die a) fand ich einfach, sofern meine Lösung keine Fehler aufweist.
Die b) finde ich da schon kniffliger.

zu b)
Idee war ebenfalls Quotientenkriterium:

fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


zu c)
hier habe ich das Wurzelkriterium angewendet:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Dabei bin ich mir aber ganz unsicher.

So, dass war jetzt ganz schön viel Text, wäre sehr nett wenn sich jemand die Zeit nimmt, mir zu helfen, dafür schonmal Danke im Voraus.

-fennek190






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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-15


Hallo,

a) das Quotientenkriterium hilft nur, falls der Quotient ungleich eins ist. Wenn der Quotient allerdings eins ist, hilft es dir nicht. Das hilft de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe oder du kannst dir auch direkt angucken, was Squirre gemacht hat :)

b) Bei der zweiten Reihe würde ich ausmultiplizieren:
<math>\displaystyle \frac{(n+1)e^{n^2}}{e^{(n+1)^2}} = \frac{(n+1)e^{n^2}}{e^{n^2+2n+1}} = \frac{(n+1)e^{n^2}}{e^{n^2}\cdot e^{2n}\cdot e^1}</math>

c) Fuer welche reellen Zahlen <math>x</math> konvergiert die Reihe denn nun? :P



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Squire
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.08.2015
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-02-15


Hallo!
In aller Kürze:
(a) Polynome lassen sich nicht mit dem QK untersuchen, weil da immer 1 herauskommt. Tipp:
fed-Code einblenden
(b) schaue ich mir an
(c) WK passt. Für welche x gilt
fed-Code einblenden
Grüße Squire



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fennek190
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-15


Hi,
danke für die Hilfe!

zu b)
fed-Code einblenden

zu a) und c) überlege ich gerade noch mit Euren Tipps.



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Squire
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.08.2015
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-02-15


Deine Rechnung in #3 stimmt aus mehreren Gründen nicht. Du kannst nicht logarithmieren und dabei einfach ein Gleichheitszeichen setzen. Außerdem ist der natürliche Logarithmus von <math>e^{2n}</math> 2n und nicht ln(2n).

Versuche, den Grenzwert von <math>\frac{n+1}{e^{2n+1}}</math> zu bestimmen. Wächst Zähler oder Nenner schneller? Versuche dann, deine Vermutung zu beweisen.

Grüße Squire





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fennek190
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-15


Oh, das mit dem Logarithmus war ein Flüchtigkeitsfehler, klar kommt da 2n raus etc.

fed-Code einblenden



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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-02-15


Oha, was ist denn da passiert? Das verstehe ich nicht.

Dass der Zaehler kleiner als der Nenner ist, ist kein hinreichender Grund fuer die Konvergenz der Reihe. Betrachte hier wieder die harmonische Reihe.



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fennek190
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-15


Ok, ich glaube, ich habe das verstanden.

Beweis mittels Quotientenkriterium:

fed-Code einblenden

und nun noch zur a)

fed-Code einblenden

Oder 2.Methode mit dem Comparison Test hier:

fed-Code einblenden



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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-02-16


Guten Morgen, heute etwas ausführlicher.

Quotientenkriterium: du sollst den Grenzwert von <math>\displaystyle \frac{n+1}{e^{2n+1}}</math> bestimmen. Du darfst dafür tatsächlich noch einmal das QK anwenden und diesen Ausdruck wie eine Reihe untersuchen. Weißt du, warum?
Außerdem: in der Rechnung stimmt der Schritt
fed-Code einblenden
sicher nicht.

Zu a)

Den Vergleich mit fed-Code einblenden brauchst du nicht, er ist auch falsch. Richtig ist, dass fed-Code einblenden eine divergente Minorante ist und daher die untersuchte Reihe divergiert.

Der Limit Comparison Test kann so nicht funktionieren, weil eine der beiden miteinander verglichenen Reihen die untersuchte Reihe sein muss. Du vergleichst aber fed-Code einblenden mit fed-Code einblenden . Du könntest mit fed-Code einblenden vergleichen, aber bringt das viel?

Grüße Squire



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fennek190
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17


Guten Tag,
entschuldigt die (dummen) Fehler, war doch schon später Nachmittag und der Kopf bereits kaputt :D

Jetzt nochmal mit frischem Elan.

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden




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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-02-17


Hi,

woher weißt du, was bei <math>x\in\{-\frac{1}{\pi},\frac{1}{\pi} \}</math> passiert?
Untersuche doch mal beide Fälle :)



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