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Differentiation » Differentialrechnung in IR » stetige Differenzierbarkeit
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Universität/Hochschule J stetige Differenzierbarkeit
YoungJedi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-02-16 18:53


Hallo,
habe eine kurze Frage:
Wie funktioniert das, wenn man zeigen will, ob eine Funktion f in einem Punkt x stetig differenzierbar ist?

Also soweit ich gelesen habe, bildet man die Ableitung und lässt die abgeleitete Funktion dann im Lim gegen die gesuchte Stelle laufen.
Ist das soweit richtig?
Wenn ja, wie geht es dann weiter, was sagt mir das was ich bisher "errechnet" habe eigentlich genau?

Vielen Dank schonmal im Vorraus

Gruß FLo



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freeclimb
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Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-16 19:15


Hallo!

Im ersten Schritt überprüft man die Differenzierbarkeit der Funktion f(x). Ist diese gezeigt, muss noch die Stetigkeit der Ableitung f'(x) nachgeprüft werden.
Ist auch die Stetigkeit erfüllt, so ist f(x) stetig-differenzierbar.

mfg


-----------------
Die Beherrschung der Arithmetik, Herr Kollege, ist keine Frage der Überheblichkeit, hätte ich gedacht.

(A.v.d.B.)



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YoungJedi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 08:45


also muss ich den ganzen Stetigkeitskram bei der Ableitungsfunktion überprüfen?
Auf differenzierbarkeit überprüfe ich die Funktion ja, indem ich sie ableite und mich von rechts und links dem Grenzwert annähere und schaue ob beide Werte übereinstimmen..!?



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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-02-17 09:46


Ja, den ganzen Stetigkeitskram musst du prüfen. ;)

Die Differenzierbarkeit muss die mit Hilfe des Differentialquotienten prüfen, dies beinhaltet wie du richtig angemerkt hast Grenzwertbetrachtungen.
Du darfst die Funktion nicht einfach ableiten, denn das setzt gerade voraus, dass sie differenzierbar ist!

Wenn du ein konkretes Beispiel hast, dann kannst du es hier ja posten. Alternativ könntest du dir die Funktion
<math>f(x)=\begin{cases}
x^2\cdot\sin(\frac{1}{x}) &, x\neq 0 \\
0 &, x=0
\end{cases}</math>

vornehmen und dein Ergebnis hier zeigen.

mfg


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(A.v.d.B.)



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YoungJedi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 10:42


differentialquotient ist doch f(x)-f(x0)/(x-xo)? und dabei lass ich noch den limes von x gegen x0 laufen!?
Nur wenn ich jetzt deine Funktion nehme, dann hab ich ja im Zähler stehen:

fed-Code einblenden
aber was kann ich daraus jetzt erkennen?



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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-02-17 18:54


Schreiben wir den Differentialquotienten einmal ganz auf, wobei ich eine etwas praktischer Variante nehme. Sie ist zu deiner Definition natürlich äquivalent.

<math>\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>

Wir untersuchen an der Stelle <math>x_0=0</math>. Dann gilt:

<math>\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=
\lim\limits_{h\to 0}\frac{(0+h)^2\sin(\frac{1}{0+h})-0}{h}=
\lim\limits_{h\to 0}\frac{h^2\sin(\frac{1}{h})}{h}=
\lim\limits_{h\to 0}(h\sin(\frac{1}{h}))=0
</math>

Damit haben wir gezeigt, dass der Grenzwert existiert(!) und sogar den Wert ausgerechnet, also die erste Ableitung unserer Funktion bei <math>x=0</math>. Insgesamt wurde die Differenzierbarkeit der Funktion gezeigt.

mfg


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(A.v.d.B.)



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YoungJedi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-17 15:01


Sorry, dass ich das Thema nochmals aufgreife mit reichlich Verzögerung aber ich habe eine Frage weil ich das mit Differenzenquotienten einfach nicht wirklich kappiere.
Ich soll zeigen dass f: (- fed-Code einblenden fed-Code einblenden fed-Code einblenden fed-Code einblenden

f(x)= fed-Code einblenden

differnzierbar mit stetiger Ableitung ist und f'(0) berechnen.

Jetzt wollte ich zuerst zeigen, dass f(x) in 0 diff'bar ist, dann die Ableitung bilden und zeigen, dass diese stetig ist und dann eben noch f'(0) berechnen.

Aber es scheiter schon daran, dass ich zeigen will, dass f(x) diffbar in 0.

fed-Code einblenden



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-03-17 16:38


Hallo
 du bringst das auf einen Nenner , x*sin(x) dann 2 mal L'Hopital ersatzweise die Reihen für sin und e^x einsetzen.
bis dann, lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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