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Moderiert von Spock Berufspenner
Physik » Festkörperphysik » Dichte des inneren Erdkerns
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Kein bestimmter Bereich J Dichte des inneren Erdkerns
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 959
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-02-16


Hallo zusammen,
ich habe mich mal wieder mit den Eigenschaften unseres Mutterplaneten befasst und bin da auf etwas gestoßen, was mir im Moment Rätsel aufgibt.
Jedes Material dehnt sich (bis auf wenige Ausnahmen in engen Grenzen) unter steigender Temperatur aus. Außerdem kann man jedes Material unter hohem Druck komprimieren.
Die Gleichung für die Temperaturausdehnung unter der vereinfachten Annahme eines konstanten Volumenausdehnungskoeffizienten lautet:

<math>\displaystyle V_T=V_0e^{\gamma\Delta T}</math>

Die Gleichung für die mechanische Kompression lautet:

<math>\displaystyle K=-V\frac{\text{d}p}{\text{d}V}</math>

Dabei ist K der Kompressionsmodul des entsprechenden Materials. Wenn man das integriert, erhält man:

<math>\displaystyle \Delta p=-K\left(\ln V-\ln V_0\right)</math>

<math>\displaystyle V=V_0e^{-\frac {\Delta p}K}</math>

Wenn ein Material nun sowohl erhitzt als auch komprimiert wird, muss ich diese beiden Effekte miteinander kombinieren, so dass dann gilt:

<math>\displaystyle V=V_0e^\left(\gamma\Delta T-\frac {\Delta p}K\right)</math>

Die Dichte ist bei gleicher Masse umgekehrt proportional zum Volumen, so dass letztlich gilt:

<math>\displaystyle \varrho=\varrho_0e^{-\left(\gamma\Delta T-\frac {\Delta p}K\right)}</math>

<math>\displaystyle \varrho=\varrho_0e^{\left(\frac {\Delta p}K-\gamma\Delta T\right)}</math>

Natürlich ist mir bewusst, dass sowohl Kompressionsmodul als auch Volumenausdehnungskoeffizient druck- und temperaturabhängig sind, aber ich bin davon ausgegangen, dass die Änderungen nicht "gravierend" sind.
Also wollte ich die Dichte im inneren Erdkern berechnen. Der Wert ist natürlich dokumentiert, er soll etwa 13.000kg/m³ betragen und müsste sich größenordnungsmäßig aus der obigen Formel ergeben.
Zunächst ein paar Fakten aus Wiki:
Der Erdkern soll zu ca. 80% aus Eisen und 20% aus Nickel bestehen.
Materialwerte von Eisen
Dichte: 7874 kg/m³
Volumenausdehnungskoeffizient: 37x10^-6 1/K
Kompressionsmodul: 170x10^9 Pa

Materialwerte von Nickel
Dichte (fest): 8908 kg/m³
Volumenausdehnungskoeffizient: 40x10^-6 1/K
Kompressionsmodul: 180x10^9 Pa

Die Legierung wird sich aufgrund des Mischungsverhältnisses von 80 zu 20 näher bei den Materialwerten von Eisen bewegen. Daher nehme ich mal grob folgende Werte an:
Dichte: 8100 kg/m³
Volumenausdehnungskoeffizient: 37,5x10^-6 1/K
Kompressionsmodul: 172x10^9 Pa

Außerdem  herrscht im Erdkern eine Temperatur von etwa 6000°C und ein Druck von 330GPa (an anderer Stelle wird ein Druck von 3,64Mio bar = 364GPa erwähnt). Setze ich jetzt mal all diese Werte ein, dann müsste die Dichte im inneren Erdkern etwa 44.000kg/m³ betragen. Das ist aber mehr als dreimal so viel wie es tatsächlich ist!
Die Frage dazu ist simpel: wie kommt das? Wie gesagt, natürlich sind Kompressionsmodul und Volumenausdehnungskoeffizient nicht konstant, aber verändert sich einer der Werte (oder beide) so stark, dass es diesen großen Unterschied erklärt? Oder kommen noch andere Effekte zum Tragen, die ich nicht berücksichtigt habe?

Ciao,

Thomas



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Spock
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Mitteilungen: 7724
Aus: Schi'Kahr/Vulkan
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-17


Hallo,

die schwerwiegendste falsche Annahme in Deiner Rechnung ist die, daß Du den Kompressionsmodul als unabhängig vom Druck annimmst.
fed-Code einblenden

Tatsächlich hängt der Kompressionsmodul in dem hier relevanten Bereich nichtlinear vom Druck ab, google mal nach "Murnaghan Equation of State", da solltest Du Näherungen für die Druckabhängigkeit von K finden.

Gruß
Juergen



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MontyPythagoras
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Dabei seit: 13.05.2014
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Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17


Hallo Spock,
dass der Kompressionsmodul nicht unabhängig vom Druck ist, war mir ja bewusst. Allerdings glaube ich nicht, selbst bei konstantem Kompressionsmodul, dass das Gesetz linear ist/wäre. Wenn man einen konstanten Kompressionsmodul annimmt, bekomme ich ja stattdessen einen exponentiellen Zusammenhang, wie von mir angegeben. Selbst ein unendlicher Druck würde dann zu einem Volumen null führen.
Aber das ist unerheblich, entscheidend ist Dein Hinweis auf die "Murnaghan Equation of State". Und selbst die Gleichung kommt offenbar schon an ihre Grenzen, wenn das Volumenverhältnis unter 90% fällt. Und von einer Temperaturabhängigkeit wollen wir gar nicht erst anfangen...  smile Dass sich der Kompressionsmodul so stark ändert, hätte ich jedenfalls nicht erwartet. Vielen Dank dafür!

Ciao,

Thomas



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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-02-17


2017-02-17 11:42 - MontyPythagoras in Beitrag No. 2 schreibt:
Dass sich der Kompressionsmodul so stark ändert, hätte ich jedenfalls nicht erwartet.

Wirklich überraschend ist es allerdings nicht. Um Eisen von 7874 kg/m² auf 44000 kg/m³ zu komprimieren, müsste die Gitterkonstante von 287 pm auf 162 pm verringert werden. Mit einem Kovalenzradius von 117 pm rücken sich benachbarte Eisenatome aber schon bei 269 pm auf die Pelle. Spätestens dann ist eine weitere Verringerung des Volumens nicht mehr durch simple Verkürzung der Abstände zwischen den Atomen möglich, sondern die Atome selbst müssen zusammengequetscht werden.



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