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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Finde die Menge der 2 x 2-Matrizen, deren Jordan'sche Normalform {0,1},{0,0} ist
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Autor
Universität/Hochschule J Finde die Menge der 2 x 2-Matrizen, deren Jordan'sche Normalform {0,1},{0,0} ist
anna_P
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.11.2016
Mitteilungen: 18
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-02-17 17:16


Hallo,

ich würde gerne die Menge der <math>2x2</math> Matrizen deren Jordan'sche Normalform  
<math>
\left(
\begin{array}{ccc}
0& 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)</math>
ist, herausfinden. Beziehungsweise die Dimension dieser Menge.

Meine Überlegung war folgende:

Brauche alle 2x2 Matrizen die ähnlich zu  <math>\left(
\begin{array}{ccc}
0& 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)</math>
sind.

Diese Matrizen haben 0 als doppelten Eigenwert und nur einen linear unabhängigen Eigenvektor.

Das charakteristische Polynom <math> = (\lambda -0)^2=0</math>
Das minimale Polynom ist auch <math> = \lambda^2=0</math>.
Also alle 2x2 Matrizen A für welche gilt <math>A^2=\left(
\begin{array}{ccc}
0& 0 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)</math>

Die Nullmatrix wäre auch dabei, die ist aber nicht ähnlich zu
<math>
\left(
\begin{array}{ccc}
0& 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)</math>.

Deshalb würde ich sie abziehen.

Meine Antwort würde lauten " Menge aller 2x2 nilpotenten Matrizen mit Nilpotenzgrad 2     -   1".  


Meine Überlegung ist aber nicht richtig und jetzt wollte ich fragen ob jemand einen Tip hat, wie ich das besser angehen könnte.

Danke.



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 1415
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-17 17:41


Hallo,

die Konjugationsklasse kann man einfach hinschreiben, indem man <math>ANA^{-1}</math>, wobei N deine Matrix ist, explizit ausrechnet. Aber was genau meinst du hier mit Dimension? Als Varietät?


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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anna_P
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.11.2016
Mitteilungen: 18
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 17:50


Danke, was meinst du mit Konjugationsklasse?

Einfach <math>\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)\cdot \left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
\end{array}
\right) ^{-1}</math> aufschreiben, oder? Und dann?

Der Professor hat mit Dimension die "Anzahl" der ähnlichen Matrizen gemeint.



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anna_P
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.11.2016
Mitteilungen: 18
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 17:54


Für die Nullmatrix hat er gesagt, ist die Anzahl der Matrizen, die ähnlich zu der Nullmatrix sind, einfach die Nullmatrix selbst, also diese Menge hätte Dimension 1.

Und so wollte er auch wissen, "wieviele" Matrizen ähnlich sind zu <math>\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{array}
\right)</math>



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 44566
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-02-17 18:40


2017-02-17 17:54 - anna_P in Beitrag No. 3 schreibt:
... "wieviele" Matrizen ähnlich sind zu <math>\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{array}
\right)</math>
Hi anna_P,
es sind unendlich viele. Um diese Menge vernünftig zu beschreiben, benutzt man, dass solche Matrizen den Rang 1 haben und dass die allgemeine Gestalt einer Rang-1-Matrix uvT lautet mit Vektoren u,v ≠ 0.
Nun muss man noch die Bedingung an die Vektoren u und v herausfinden, dass die Matrix uvT den zweifachen Eigenwert 0 hat.
Tipp: Die Spur, also die Summe der Eigenwerte mit Vielfachheit, der Matrix uvT lautet vTu und muss gleich 0 sein.
Gruß Buri



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anna_P
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.11.2016
Mitteilungen: 18
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 18:55


Danke, ich sehe es mir heute Abend noch an :)



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anna_P
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.11.2016
Mitteilungen: 18
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-26 19:55


Hallo, also die Aufgabe hat sich nun geklärt.

Ja, es gibt unendlich viele Matrizen die ähnlich sind zu <math>\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right) </math> und die Dimension der Menge der ähnlichen Matrizen ist 2.

Im Standardwerk der Linearen Algebra von Gilbert Strang ist das Beispiel zu finden.

Wissen: <math>A</math> ist ähnlich zu <math>B</math> bedeutet <math>B=M^{-1}\cdot A \cdot M </math>.

<math>A=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)</math>.

Nehme nun für <math>M=\left(
\begin{array}{ccc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right)</math>,  <math>M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(
\begin{array}{ccc}
d & -b \\
-c & a \\
\end{array}
\right)</math>. Wähle <math>ad-bc =1</math> und erhalte für <math>B=\left(
\begin{array}{ccc}
cd & d^2 \\
-c^2 & -cd \\
\end{array}
\right)</math>.

Die Matrizen A und B haben dieselbe Spur und dieselbe Determinante, d.h.
erhalte ein Gleichhungssystem mit vier Variablen und zwei freien Parametern, d.h. Dimension 2.



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