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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Wurzel 2 irrational konstruktiv
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Universität/Hochschule Wurzel 2 irrational konstruktiv
Evariste1
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Dabei seit: 08.11.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-02-17 18:44


Hallo, ich versuche zu verstehen, weshalb der klassische Beweis von "Wurzel2 ist irrational" konstruktiv ist. In der intuitionistischen Logik kann man keinen Widerspruch beweisen. Da man beim Wurzel2 Beweis einen Widerspruch herleitet, habe ich Verständnisprobleme.



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lula
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Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-17 19:22


Hallo
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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Evariste1
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.11.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 20:32


cool, dass das möglich ist (mit dem abstand), wusste ich gar nicht. Danke, werde mich gleich daran versuchen.

Es scheinen sich da wohl die Geister zu scheiden, ob der klassische Beweis konstruktiv ist. Er ist zumindest kein Widerspruchsbeweis im eigentlichen Sinne und braucht deshalb nicht den Satz vom ausgeschlossenen Dritten.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-02-17 21:48


Ein üblicher Beweis zeigt einfach, dass Wurzel 2 nicht rational ist. Man führt hierzu die Annahme, Wurzel 2 sei rational, zu einem Widerspruch. Dies ist kein Widerspruchsbeweis.
Siehe hier.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-02-17 21:53


2017-02-17 20:32 - Evariste1 in Beitrag No. 2 schreibt:
Es scheinen sich da wohl die Geister zu scheiden, ob der klassische Beweis konstruktiv ist.

Wer behauptet denn, dass der Beweis nicht in der konstruktiven Mathematik gültig ist?

Ich schließe mich hier tactac an.

Man muss beachten, dass <math>\neg A</math> dasselbe wie <math>A \to \bot</math> ist.



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Evariste1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 22:11


Lula sagt das.

Indem ich einen Widerspruch herleite und diesen Widerspruch per Definitionem mit der Negation in Einklang bringe, habe ich doch schon gegen das intuitionistische Gebot verstoßen, dass ein Widerspruch (den ich ja transitiv hergeleitet/bewiesen habe) nicht bewiesen werden darf. Liegt ein Unterschied zwischen Widerspruch herleiten und beweisen?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-02-17 22:14


Das siehst du falsch. Schau dir einmal tactacs Link an.

Ich meinte bei meiner Frage Mathematiker bzw. halt Literatur / Veröffentlichungen.



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Evariste1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 22:29


Ok mach ich, kenne die Seite zwar schon, aber werde sie jetzt noch mal gründlich durchgehen. Hat es was mit "Versprechen das nicht eingelöst werden muss" zu tun?

 Publikationen kenne ich keine. Habe es nur in verschiedensten Foren etliche male gelesen, dass der Beweis nicht konstruktiv sei. Deshalb die flapsige Formulierung mit den geschiedenen Geistern.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-02-17 22:32


Kannst du denn Quellen nennen?

Es wird sicherlich immer gesagt, dass das ein Beweis durch Widerspruch ist. Aber es ist eben ein Vorurteil, dass Beweise durch Widerspruch in der konstruktiven Mathematik nicht möglich sind. Man kann nämlich <math>\neg A</math> durch <math>A \to \bot</math> beweisen, und <math>A \to \bot</math> ist ja gerade, <math>A</math> zum Widerspruch zu führen. Was man halt nicht kann, ist <math>A</math> zu beweisen, indem man <math>\neg A</math> zum Widerspruch führt: weil das lediglich <math>\neg \neg A</math> zeigt.

Um also etwa die Rationalität einer Zahl <math>x</math> zu zeigen, reicht es (aus konstruktiver Perspektive) nicht, die Irrationalität von <math>x</math> zum Widerspruch zu führen.

Um aber die Irrationalität einer Zahl <math>x</math> zu zeigen, reicht es (per definition), die Rationalität von <math>x</math> zum Widerspruch zu führen.



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Evariste1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 22:56


Mir ist klar dass es kein Widerspruchsbeweis ist.  Ich stelle es mir jetzt so vor: "Es gibt keinen Beweis von Falsum" (homepage.univie.ac.at/guenther.eder/Intuitionistische%20Logik.pdf Seite 3)  heißt, dass es nicht möglich ist den Beweis mit einer Negation zu beginnen und diese dann zum Widerspruch zu führen.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-02-17 22:58


2017-02-17 22:56 - Evariste1 in Beitrag No. 9 schreibt:
Mir ist klar dass es kein Widerspruchsbeweis ist.

Möchtest du die Beiträge noch einmal gründlich lesen?



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Evariste1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 23:37


Was meinst du? Es handelt sich um einen proof of negation, nicht um einen proof of contradiction (letzteren bezeichnet man als widerspruchsbeweis, dieser führt eine verneinte Aussage zu einer doppelten verneinung, welche sich in der konstruktiven beweisführung nicht auflösen lässt).  Mein Problem liegt nachwievor in der intuitionistischen Forderung, "Falsum ist nicht beweisbar".



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-02-17 23:53


Dieses "Falsum hat keinen Beweis" ist Teil der BHK-Interpretation. Hierbei legt man grob gesprochen fest, wie die Menge/der Typ der "Beweise" einer Aussage jeweils aussieht. Falsum bekommt die leere Menge. Die zu Implikationen gehörenden Mengen sind z.B. Funktionenmengen. usw.
Und nun hat <math>\emptyset</math> zwar per Definition keine Elemente, aber das hindert einen ja nicht daran, etwa Elemente von <math>\emptyset^A</math> anzugeben, die dann belegen würden, dass <math>A</math> leer ist.
Als Übung überlege dir mal, was <math>\emptyset^{\emptyset^A}</math> ist.



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Evariste1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-18 00:23


Auf die Erklärung wäre ich nicht gekommen. Danke.
Zur Übungsaufgabe: Es handelt sich meines Erachtens um die Identität auf der leeren Menge.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-02-18 00:57


2017-02-18 00:23 - Evariste1 in Beitrag No. 13 schreibt:
Zur Übungsaufgabe: Es handelt sich meines Erachtens um die Identität auf der leeren Menge.
Das stimmt schon typmäßig nicht. Es handelt sich um eine (durch A parametrierte) Funktionenmenge. Höchstens rein zufällig "wäre" die mit geeigneter Kodierung selbst eine Funktion.
Und falls du eher eine Menge mit genau einem Element mit diesem Element verwechselst: auch dann wär's falsch, da die angegebene Menge nicht zwangsweise einelementig ist.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-02-22 11:58


Hallo zusammen,
Ich sehe den Unterschied zwischen konstruktiver Mathematik (intuitionistischer Mathematik) und nichtkonstruktiver Mathematik so:
Der Unterschied muß sich in der zu jeder mathematischen Theorie zugehörigem Beweiskalkül festmachen.
I)
Die Schlussregeln in PL1 (Prädikatenlogik 1. Stufe) sind:
1) Abtrennungsregel (Modus ponens):
A, A -->B
-------------
B

2) restliche 5 Regeln
vordere Generalisierung, hintere Generalisierung, vordere Partikularisierung, hintere Partikularisierung  (bei den Schlussregeln mit Quantoren), Substitution
 
II) Axiome
Neben den Schlussregeln gibt es noch viele Axiome.

Meine Frage:
Wie lauten die Axiome bzw. Schlussregel in der
a) konstruktiven Mathematik bzw
b) nichtkonstruktiven Mathematik ?

Oder was sehe ich da falsch ?


mfg
cx



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