Die Mathe-Redaktion - 30.04.2017 07:13 - Registrieren/Login
Auswahl
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Apr. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 279 Gäste und 4 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von mire2 StrgAltEntf
Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Wurzel 2 irrational konstruktiv
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Wurzel 2 irrational konstruktiv
Evariste1
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.11.2016
Mitteilungen: 52
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-02-17 18:44


Hallo, ich versuche zu verstehen, weshalb der klassische Beweis von "Wurzel2 ist irrational" konstruktiv ist. In der intuitionistischen Logik kann man keinen Widerspruch beweisen. Da man beim Wurzel2 Beweis einen Widerspruch herleitet, habe ich Verständnisprobleme.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
lula
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 10193
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-17 19:22


Hallo
fed-Code einblenden


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Evariste1
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.11.2016
Mitteilungen: 52
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 20:32


cool, dass das möglich ist (mit dem abstand), wusste ich gar nicht. Danke, werde mich gleich daran versuchen.

Es scheinen sich da wohl die Geister zu scheiden, ob der klassische Beweis konstruktiv ist. Er ist zumindest kein Widerspruchsbeweis im eigentlichen Sinne und braucht deshalb nicht den Satz vom ausgeschlossenen Dritten.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 766
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-02-17 21:48


Ein üblicher Beweis zeigt einfach, dass Wurzel 2 nicht rational ist. Man führt hierzu die Annahme, Wurzel 2 sei rational, zu einem Widerspruch. Dies ist kein Widerspruchsbeweis.
Siehe hier.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 2257
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-02-17 21:53


2017-02-17 20:32 - Evariste1 in Beitrag No. 2 schreibt:
Es scheinen sich da wohl die Geister zu scheiden, ob der klassische Beweis konstruktiv ist.

Wer behauptet denn, dass der Beweis nicht in der konstruktiven Mathematik gültig ist?

Ich schließe mich hier tactac an.

Man muss beachten, dass <math>\neg A</math> dasselbe wie <math>A \to \bot</math> ist.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Evariste1
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.11.2016
Mitteilungen: 52
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 22:11


Lula sagt das.

Indem ich einen Widerspruch herleite und diesen Widerspruch per Definitionem mit der Negation in Einklang bringe, habe ich doch schon gegen das intuitionistische Gebot verstoßen, dass ein Widerspruch (den ich ja transitiv hergeleitet/bewiesen habe) nicht bewiesen werden darf. Liegt ein Unterschied zwischen Widerspruch herleiten und beweisen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 2257
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-02-17 22:14


Das siehst du falsch. Schau dir einmal tactacs Link an.

Ich meinte bei meiner Frage Mathematiker bzw. halt Literatur / Veröffentlichungen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Evariste1
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.11.2016
Mitteilungen: 52
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 22:29


Ok mach ich, kenne die Seite zwar schon, aber werde sie jetzt noch mal gründlich durchgehen. Hat es was mit "Versprechen das nicht eingelöst werden muss" zu tun?

 Publikationen kenne ich keine. Habe es nur in verschiedensten Foren etliche male gelesen, dass der Beweis nicht konstruktiv sei. Deshalb die flapsige Formulierung mit den geschiedenen Geistern.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 2257
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-02-17 22:32


Kannst du denn Quellen nennen?

Es wird sicherlich immer gesagt, dass das ein Beweis durch Widerspruch ist. Aber es ist eben ein Vorurteil, dass Beweise durch Widerspruch in der konstruktiven Mathematik nicht möglich sind. Man kann nämlich <math>\neg A</math> durch <math>A \to \bot</math> beweisen, und <math>A \to \bot</math> ist ja gerade, <math>A</math> zum Widerspruch zu führen. Was man halt nicht kann, ist <math>A</math> zu beweisen, indem man <math>\neg A</math> zum Widerspruch führt: weil das lediglich <math>\neg \neg A</math> zeigt.

Um also etwa die Rationalität einer Zahl <math>x</math> zu zeigen, reicht es (aus konstruktiver Perspektive) nicht, die Irrationalität von <math>x</math> zum Widerspruch zu führen.

Um aber die Irrationalität einer Zahl <math>x</math> zu zeigen, reicht es (per definition), die Rationalität von <math>x</math> zum Widerspruch zu führen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Evariste1
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.11.2016
Mitteilungen: 52
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 22:56


Mir ist klar dass es kein Widerspruchsbeweis ist.  Ich stelle es mir jetzt so vor: "Es gibt keinen Beweis von Falsum" (homepage.univie.ac.at/guenther.eder/Intuitionistische%20Logik.pdf Seite 3)  heißt, dass es nicht möglich ist den Beweis mit einer Negation zu beginnen und diese dann zum Widerspruch zu führen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 2257
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-02-17 22:58


2017-02-17 22:56 - Evariste1 in Beitrag No. 9 schreibt:
Mir ist klar dass es kein Widerspruchsbeweis ist.

Möchtest du die Beiträge noch einmal gründlich lesen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Evariste1
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.11.2016
Mitteilungen: 52
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 23:37


Was meinst du? Es handelt sich um einen proof of negation, nicht um einen proof of contradiction (letzteren bezeichnet man als widerspruchsbeweis, dieser führt eine verneinte Aussage zu einer doppelten verneinung, welche sich in der konstruktiven beweisführung nicht auflösen lässt).  Mein Problem liegt nachwievor in der intuitionistischen Forderung, "Falsum ist nicht beweisbar".



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 766
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-02-17 23:53


Dieses "Falsum hat keinen Beweis" ist Teil der BHK-Interpretation. Hierbei legt man grob gesprochen fest, wie die Menge/der Typ der "Beweise" einer Aussage jeweils aussieht. Falsum bekommt die leere Menge. Die zu Implikationen gehörenden Mengen sind z.B. Funktionenmengen. usw.
Und nun hat <math>\emptyset</math> zwar per Definition keine Elemente, aber das hindert einen ja nicht daran, etwa Elemente von <math>\emptyset^A</math> anzugeben, die dann belegen würden, dass <math>A</math> leer ist.
Als Übung überlege dir mal, was <math>\emptyset^{\emptyset^A}</math> ist.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Evariste1
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.11.2016
Mitteilungen: 52
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-18 00:23


Auf die Erklärung wäre ich nicht gekommen. Danke.
Zur Übungsaufgabe: Es handelt sich meines Erachtens um die Identität auf der leeren Menge.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 766
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-02-18 00:57


2017-02-18 00:23 - Evariste1 in Beitrag No. 13 schreibt:
Zur Übungsaufgabe: Es handelt sich meines Erachtens um die Identität auf der leeren Menge.
Das stimmt schon typmäßig nicht. Es handelt sich um eine (durch A parametrierte) Funktionenmenge. Höchstens rein zufällig "wäre" die mit geeigneter Kodierung selbst eine Funktion.
Und falls du eher eine Menge mit genau einem Element mit diesem Element verwechselst: auch dann wär's falsch, da die angegebene Menge nicht zwangsweise einelementig ist.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 674
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-02-22 11:58


Hallo zusammen,
Ich sehe den Unterschied zwischen konstruktiver Mathematik (intuitionistischer Mathematik) und nichtkonstruktiver Mathematik so:
Der Unterschied muß sich in der zu jeder mathematischen Theorie zugehörigem Beweiskalkül festmachen.
I)
Die Schlussregeln in PL1 (Prädikatenlogik 1. Stufe) sind:
1) Abtrennungsregel (Modus ponens):
A, A -->B
-------------
B

2) restliche 5 Regeln
vordere Generalisierung, hintere Generalisierung, vordere Partikularisierung, hintere Partikularisierung  (bei den Schlussregeln mit Quantoren), Substitution
 
II) Axiome
Neben den Schlussregeln gibt es noch viele Axiome.

Meine Frage:
Wie lauten die Axiome bzw. Schlussregel in der
a) konstruktiven Mathematik bzw
b) nichtkonstruktiven Mathematik ?

Oder was sehe ich da falsch ?


mfg
cx



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 766
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2017-02-24 23:26


In Kapitel 2 des Skripts Introduction to Constructive Logic and Mathematics wird ein Kalkül vorgestellt. Es benutzt eher viele Regeln (pro Konnektiv einen Satz) statt weniger Regeln und dafür einen Satz von Axiomen.
Klassische Logik erhält man, indem man LEM-artiges als Regel oder Axiom(enschema) hinzufügt.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 674
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2017-02-27 20:51


2017-02-24 23:26 - tactac in Beitrag No. 16 schreibt:
Klassische Logik erhält man, indem man LEM-artiges als Regel oder Axiom(enschema) hinzufügt.
Hallo tactac,
Danke für deine Info.
1)
Was verstehst du unter "Klassische Logik" ?
2)
was ist "LEM-artiges" ?
Habe ich noch nie gehört.

mfg
cx



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 766
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-02-27 23:14


2017-02-27 20:51 - carlox in Beitrag No. 17 schreibt:
Danke für deine Info.
1)
Was verstehst du unter "Klassische Logik" ?
Intuitionistische Logik + LEM.

2)
was ist "LEM-artiges" ?
Habe ich noch nie gehört.
"LEM" ist eine Abkürzung für "Law of excluded middle".



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Zwerg_Allwissend
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.12.2013
Mitteilungen: 110
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2017-02-28 18:40


2017-02-17 18:44 - Evariste1 im Themenstart schreibt:
Hallo, ich versuche zu verstehen, weshalb der klassische Beweis von "Wurzel2 ist irrational" konstruktiv ist. In der intuitionistischen Logik kann man keinen Widerspruch beweisen. Da man beim Wurzel2 Beweis einen Widerspruch herleitet, habe ich Verständnisprobleme.

"Konstruktiv" bezieht sich auf Existenzquantoren (und auch Disjunktionen). D.h., wenn man aus einem Beweis einer Aussage mit Existenzquantor eine konkrete Ersetzung für die existenzquantifizierte Variable ablesen kann, dann ist der Beweis konstruktiv.

Informatiker kennen solche Beispiel aus der Automatentheorie. Z.B.

"Zu jeder regulären Grammatik existiert ein endlicher Automat, der genau die Sprache der Grammatik akzeptiert.

Der Beweis ist konstruktiv, da man sich aus dem Beweis zu jeder regulären Grammatik konkret einen akzeptieren Automaten konstruieren kann."

Der Beweis von Theorem 1.1 auf Seite 3 in www.mathematik.tu-darmstadt.de/~streicher/CLM/clm.pdf ist dagegen unkonstruktiv, denn man kann aus dem Beweis keine Lösung für a und b ablesen.

Ein Beweis von "Wurzel 2 ist irrational" muß allein schon deshalb konstruktiv sein, weil in der Behauptung kein Existenzquantor vorkommt. Formal lautet der Satz etwa (*) "∀ x, y : ℕ y ≠ 0 → 2*y² ≠ x²".

Man kann (*) einfach durch Induktion zeigen (klassische Logik mit Arithmetik), schweres Geschütz wie "relatively prime" in math.andrej.com/2010/03/29/proof-of-negation-and-proof-by-contradiction/ braucht man dazu nicht.

Beweis hier:



Das ist ein Induktionsbeweis per Widerspruch, da kommen zwar Existenzquantoren vor. Macht aber nichts. Es geht nur um Existenzquantoren im zu beweisenden Satz. Und obendrein kann man den Beweis auch direkt führen, also nicht als Widerspruchsbeweis.  




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 674
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2017-03-01 08:58


Hallo Zwerg_allwissend,
1)
Du schreibst:
"Das ist ein Induktionsbeweis per Widerspruch, da kommen zwar Existenzquantoren vor. Macht aber nichts. Es geht nur um Existenzquantoren im zu beweisenden Satz."
Das habe ich leider nicht verstanden.
Warum macht das nichts, weil die Existenzquantoren im beweisenden Satz vorkommen ?

2)
Folgendes ist mir auch noch unklar:
Bei deinem Induktionsanfang quantifiziest du über die 2 Variablen x und y
Über eine davon sollte nicht quantifiziert werden. Es soll ja die Behauptung B(0) gezeigt werden.


mfg
cx

 




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Zwerg_Allwissend
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.12.2013
Mitteilungen: 110
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2017-03-01 09:55


2017-03-01 08:58 - carlox in Beitrag No. 20 schreibt:
Hallo Zwerg_allwissend,
1)
Du schreibst:
"Das ist ein Induktionsbeweis per Widerspruch, da kommen zwar Existenzquantoren vor. Macht aber nichts. Es geht nur um Existenzquantoren im zu beweisenden Satz."
Das habe ich leider nicht verstanden.
Warum macht das nichts, weil die Existenzquantoren im beweisenden Satz vorkommen ?

"Konstruktiver Beweis" bezieht sich auf den Beweis von Aussagen, in denen Existenzquantoren vorkommen (natürlich nicht als negierte Allquantoren, also etwa Aussagen in Prenex-Normalform geschrieben). Und "konstruktiv" heißt dann, daß man aus dem Beweis eine "Lösung" / ein konkretes Beispiel für die existenzquantifizierte Variable ablesen kann.

Im zu beweisenden Satz (*) kommen jedoch keine Existenzquantoren vor. Der Begriff "konstruktiv" ist hier also sinnlos - für was sollte man denn eine "Lösung" bzw. ein konkretes Beispiel angeben?

Für Existenzquantoren, die durch Negation entstehen wenn man einen Widerspruchsbeweis führt, also etwa a und b im Beweis von (*), ist die Forderung "konstruktiv" ebenso sinnlos. Man zeigt ja per Widerspruch, daß a und b eben NICHT existieren, also kann es auch kein konkretes Beispiel dafür geben.  

In klassischer Logik kann man sowohl konstruktiv als auch inkonstruktiv beweisen. Wie schon oben geschrieben ist der Beweis von Theorem 1.1 auf Seite 3 in www.mathematik.tu-darmstadt.de/~streicher/CLM/clm.pdf unkonstruktiv. Für diesen Satz gibt es auch einen konstruktiven Beweis in dem konkrete Zahlen a und b angegeben werden von denen gezeigt wird, daß diese irrational sind, a^b jedoch rational.

Dagegen kann man in intuitionistischer Logik keine unkonstruktiven Beweise formulieren.  
   

2017-03-01 08:58 - carlox in Beitrag No. 20 schreibt:
Hallo Zwerg_allwissend,
2)
Folgendes ist mir auch noch unklar:
Bei deinem Induktionsanfang quantifiziest du über die 2 Variablen x und y
Über eine davon sollte nicht quantifiziert werden. Es soll ja die Behauptung B(0) gezeigt werden.

∀ x, y : ℕ x = 0 → P(x, y) ist äquivalent zu ∀ y : ℕ P(0, y).



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 766
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2017-03-01 15:13


2017-02-28 18:40 - Zwerg_Allwissend in Beitrag No. 19 schreibt:
"Konstruktiv" bezieht sich auf Existenzquantoren (und auch Disjunktionen). D.h., wenn man aus einem Beweis einer Aussage mit Existenzquantor eine konkrete Ersetzung für die existenzquantifizierte Variable ablesen kann, dann ist der Beweis konstruktiv.
[...]
Ein Beweis von "Wurzel 2 ist irrational" muß allein schon deshalb konstruktiv sein, weil in der Behauptung kein Existenzquantor vorkommt. Formal lautet der Satz etwa (*) "∀ x, y : ℕ y ≠ 0 → 2*y² ≠ x²".
Das klingt so, als könne man jede Aussage, in der keine Existenzquantoren vorkommen und keine Disjunktionen, und die man klassisch beweisen kann, auch konstruktiv beweisen kann. Dem ist nicht so, wie man an
    <math>\lnot\lnot A \to A</math>  oder  <math>((A \to B) \to A) \to A)</math>
sieht.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Zwerg_Allwissend
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.12.2013
Mitteilungen: 110
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2017-03-01 17:24


2017-03-01 15:13 - tactac in Beitrag No. 22 schreibt:
Das klingt so, als könne man jede Aussage, in der keine Existenzquantoren vorkommen und keine Disjunktionen, und die man klassisch beweisen kann, auch konstruktiv beweisen kann. Dem ist nicht so, wie man an
    <math>\lnot\lnot A \to A</math>  oder  <math>((A \to B) \to A) \to A)</math>
sieht.

Die Disjunktionen stecken hier in den Implikationen. "Keine Disjunktionen" bezieht sich auf Formeln in Negationsnormalform.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 766
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2017-03-01 20:05


2017-03-01 17:24 - Zwerg_Allwissend in Beitrag No. 23 schreibt:
Die Disjunktionen stecken hier in den Implikationen. "Keine Disjunktionen" bezieht sich auf Formeln in Negationsnormalform.
In den Implikationen stecken keine Disjunktionen. Völlig unpassende Normalformen zu verwenden, ist auch nicht sinnvoll.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Zwerg_Allwissend
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.12.2013
Mitteilungen: 110
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2017-03-01 22:34


2017-03-01 20:05 - tactac in Beitrag No. 24 schreibt:
2017-03-01 17:24 - Zwerg_Allwissend in Beitrag No. 23 schreibt:
Die Disjunktionen stecken hier in den Implikationen. "Keine Disjunktionen" bezieht sich auf Formeln in Negationsnormalform.
In den Implikationen stecken keine Disjunktionen. Völlig unpassende Normalformen zu verwenden, ist auch nicht sinnvoll.

Das Problem in solchen Foren ist ja, daß man nie weiß mit wem man es bei einer Diskussion zu tun hat, dies in mehrfacher Hinsicht. Ich will mal davon ausgehen, daß Dir nicht klar ist, was hier gemeint ist (obwohl ich mir da nicht so sicher bin).

Es ist sinnlos von "Formeln ohne Disjunktionen oder Existenzquatoren" zu sprechen, wenn man nicht eine Normalform zu Grunde legt (oder von vornherein die betrachtete Sprache geeignet normiert). Dies deshalb, weil Formeln äquivalent so umgeformt werden können, daß Junktoren und Quantoren nach Belieben verschwinden oder eingeführt werden können.

In #19 habe ich behauptet, daß in (*) ∀ x, y : ℕ y ≠ 0 → 2*y² ≠ x² keine Existenzquantoren vorkommen. Jetzt kann man natürlich (*) äquivalent zu (**) ¬ (∃ x, y : ℕ y ≠ 0 ∧ 2*y² = x²) umformen, und auf einmal hat man in der Behauptung doch einen Existenzquantor. Das ist natürlich nicht gemeint. Definitionsmäßig bekommt man das in den Griff, in dem man eine Normalform verwendet. In diesem Fall definiert man dann eben: Eine Formel φ ist frei von Existenzquantoren gdw. die Prenexnormalform von φ keine Existenzquantoren enthält.

Bei Aussagenlogik ist das genauso, nur nimmt man dann eben die Negationsnormalform (NNF) und definiert:  Eine Formel φ ist frei von Disjunktionen gdw. die NNF von φ keine Disjunktionen enthält.

Da NNF(A → B) = ¬A ∨ B ist eben "A → B" i.S.d. Definition nicht frei von Disjunktionen.

Die Verwendung dieser Normalformen ist also deshalb "passend", da damit präzise definiert werden kann, was genau mit "frei von ..." gemeint ist.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 766
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2017-03-01 22:39


Die Normalform einer Formel sollte in der Logik, um die es geht, äquivalent zur Ausgangsformel sein. Sonst passt sie nicht. Und <math>A\to B</math> ist i.A. nicht äquivalent zu <math>\lnot A \lor B</math>.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Zwerg_Allwissend
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.12.2013
Mitteilungen: 110
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2017-03-01 23:33


2017-03-01 22:39 - tactac in Beitrag No. 26 schreibt:
Die Normalform einer Formel sollte in der Logik, um die es geht, äquivalent zur Ausgangsformel sein. Sonst passt sie nicht. Und <math>A\to B</math> ist i.A. nicht äquivalent zu <math>\lnot A \lor B</math>.

Jetzt habe ich mir vorsichtshalber erst mal Deine anderen Beiträge im Forum angeschaut. Was Du sonst so schreibst paßt eigentlich nicht zu

" <math>A\to B</math> ist i.A. nicht äquivalent zu <math>\lnot A \lor B</math> "

Hast Du ein Beispiel oder gar einen Beweis für Deine Behauptung? Es geht doch hier um Aussagenlogik, oder?



 



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 766
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2017-03-02 00:05


Es geht um intuitionistische Logik. Wenn <math>A\to B</math> und <math>\lnot A \lor B</math> immer äquivalent wären, für beliebige A,B,  würde das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten gelten.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Zwerg_Allwissend
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.12.2013
Mitteilungen: 110
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2017-03-02 13:18


2017-03-02 00:05 - tactac in Beitrag No. 28 schreibt:
Es geht um intuitionistische Logik.

Das erinnert mich jetzt an den Witz von dem Studenten, der in der Prüfung nach der Maus gefragt wird, aber nichts dazu sagen kann, da er sich nur auf den Elephanten vorbereitet hat. Das geht dann so: Die Maus hat ein Fell von grauer Farbe, darin dem Elephanten nicht unähnlich. Und dann geht es weiter mit dem Elephanten, der hat einen Rüssel, große Ohren usw. ...

Es ist offensichtlich, daß ich in diesem Thread nichts über intuitionistische Logik geschrieben habe, ausgenommen in einer Nebenbemerkung. Alle von mir erwähnten Beweise sind nicht-intuitionistisch. Spätestens nachdem ich explizit "Aussagenlogik" und "NNF" geschrieben hatte war klar, daß intuitionistische Logik nicht gemeint ist.

Ich vermute, daß Dir das von vorherein bewußt war und Du nur nach einer Gelegenheit gesucht hast Deine Kenntnisse vom "Elephanten" hier vorzutragen.

Daß ich meine Zeit jetzt mit Anworten verplempert habe ist ärgerlich. Na ja, selber Schuld. Ich hatte ja schon von vornherein so ein Gefühl, daß mit Deinem Beitrag etwas faul ist.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 766
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2017-03-02 13:43


Du hast in deinem ersten Beitrag selbst zitiert, dass es um intuitionistische Logik geht. Das von dir mehrfach verlinkte Streicher-Skript behandelt auch v.a. das Thema. Auch in selbst geschriebenen Textteilen sprichst du von intuitionistischer Logik.
Ich dachte, deine off-topic-Beiträge waren nur ein Versehen oder ein zu korrigierendes Missverständnis. Wenn dem nicht so ist, bleibt die Frage, warum du absichtlich off-topic-Beiträge schreibst.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Evariste1 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]