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Physik » Mathematische Physik » Nachweis konservatives Kraftfeld
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Universität/Hochschule Nachweis konservatives Kraftfeld
NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-02-17 19:27


Ich würde gerne zeigen, dass das Gravitationsfeld konservativ ist. Ich weis wie ich vorgehen muss, nur bei der Durchführung hapert es.
Für ein konservatives KF ist fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Da ja fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
gilt, wollte ich das einfach berechnen. Nun hab ich aber das Problem, dass das Ergebnis nicht 0 ist. Kann mir wer helfen wo mein Fehler liegt?



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-17 19:48


Hallo
 dein F sollte 1. ein Vektor sein, wie willst du sonst rot F bestimmen
fed-Code einblenden
bis dann, lula
 


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-17 20:12


Die Kraft ist doch immer ein Vektor:) Was ist K bei dir? So wie ich das in Beitrag #0 gemacht habe, bekomme ich für die Partiellen Ableitung nach x
fed-Code einblenden
Hab dann nicht weiter gerechnet weil ich gemerkt habe das dass nicht 0 wird.



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-02-17 20:35


Schau Dir nochmal Deine Formeln aus dem Startbeitrag an:

2017-02-17 19:27 - NoNameTI-30x im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden

1. Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht nicht das Gleiche (die linke Seite ist <math>\sim1/r^2</math>, die rechte <math>\sim1/r</math>).

2. Abgeleitet hast Du jetzt den Term auf der rechten Seite, aber das ist ganz sicher kein Vektorfeld. (Und ausgerechnet hast Du nicht die <math>x</math>-Komponente einer Rotation, sondern die eines Gradienten.)

Grüße,
dromedar



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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-18 14:58


Die Rotation ist ja definiert als fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Ich hab also die x-Komponente des Vektors ausgerechnet.
Ja das war ein Tippfehler. Du hast recht, es gehört natürlich fed-Code einblenden
Kannst du mit vielleicht zeigen wie du die Aufgabe lösen würdest?



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-02-18 15:47


2017-02-18 14:58 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich hab also die x-Komponente des Vektors ausgerechnet.

Bist Du Dir denn darüber im Klaren, welchen Vektor Du überhaupt ausrechnen willst? Du hast zwar eine <math>x</math>-Komponente ausgerechnet, aber nicht die von <math>\nabla\times\vec F</math>, sondern vom Gradienten eines Skalarfelds.

Dass Du Probleme hast, hängt vermutlich auch damit zusammen, dass Du trotz mehrfacher Aufforderung das Vektorfeld <math>\vec F</math>, um das es geht, immer noch nicht hingeschrieben hast, sondern immer nur das Skalarfeld <math>|\vec F|</math>. Und von einem Skalarfeld kann man keine Rotation ausrechnen.



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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-18 16:49


Ich denke das Gravitationsfeld ist gegeben durch fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Stimmt das? Das würde meine Rechnung nämlich nicht viel ändern...



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-02-18 16:53


2017-02-18 16:49 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 6 schreibt:
Stimmt das?

Nein. Schau Dir nochmal den Beitrag von lula an.



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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-18 17:12


Mir ist nur leider nicht ganz klar was k in lulas Formel ist bzw woher die Formel stammt. Außerdem stehe ich wieder vor dem selben Problem wenn ich den Vektor als seinen Betrag anschreibe.



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-02-18 17:35


2017-02-18 17:12 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 8 schreibt:
Mir ist nur leider nicht ganz klar was k in lulas Formel ist bzw woher die Formel stammt.

Um auf die Formel zu kommen, musst Du wissen, dass die Kraft eines Gravitationsfelds in Richtung von <math>-\vec r</math> zeigt.

Auf den Wert von <math>k</math> (nämlich <math>k=-G\cdot mM</math>) kommst Du, indem den den Betrag <math>|\vec F|</math> von lulas Vektorfeld mit Deinem <math>F_{\rm Grav}</math> vergleichst.

2017-02-18 17:12 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 8 schreibt:
Außerdem stehe ich wieder vor dem selben Problem wenn ich den Vektor als seinen Betrag anschreibe.

Was willst mit dem Betrag? Für die Berechnung der Rotation musst Du mit dem Vektorfeld selbst, nicht mit seinem Betrag arbeiten.



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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-18 18:05


Ja aber ich habe mir gedacht mit Hilfe des Betrages könnte ich die Partiellen Ableitungen besser berechnen, da r ja von x,y und z abhängig ist. Mich würde außerdem noch interessieren wie man auf das r^3 in der Formel kommt!



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-02-18 18:13


So wird das nichts. Gehe ganz systematisch vor. Du möchtest die Rotation eines Vektorfeldes berechnen. Schreib also das Vektorfeld (nicht dessen Betrag) vollständig auf. Schreib die Formel für die Rotation aus. Berechne alle Ableitungen gemäß dieser Formel. So kommst du besser ans Ziel, als viele Male nachzufragen.

2017-02-18 18:05 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 10 schreibt:
Mich würde außerdem noch interessieren wie man auf das r^3 in der Formel kommt!
<math>\vec{r}</math> ist kein Einheitsvektor. Wenn du den Betrag von lulas Formel nimmst, wirst du die Abhängigkeit von <math>r^{-2}</math> sehen können.

Grüße,
PhysikRabe


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"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-18 18:37


fed-Code einblenden
Meinst du das so? So hatte ich es nämlich ursprünglich gemacht. Da kommt dann natürlich 0 raus für die Ableitungen aber das kommt mir nicht ganz richtig vor. Das gleiche könnte ich nämlich auch machen, wenn ich zB die Lorentzkraft betrachte, welche ja nicht konservativ ist. Wenn ich diese komponentenweise hinschreibe und den Rotor berechne, ist das Ergebnis ja auch 0.



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2017-02-18 18:52


2017-02-18 18:37 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 12 schreibt:
Da kommt dann natürlich 0 raus für die Ableitungen [...]

Hast Du 0 heraus für die einzelnen Ableitungen oder nur für die Summen?



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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-02-19 14:37


Moin,
die Formel in Beitrag 12 ist nicht korrekt. In der ersten Zeile ist ein Fehler.

Viele Grüße

holsteiner



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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-19 15:41


0 kommt für die einzelnen Ableitungen heraus. Wenn ich fed-Code einblenden
nach y ableite, kommt 0 heraus. Das würde demnach aber mit jeder beliebigen Kraft funktionieren.
Wo ist der Fehler in Beitrag 12? Ich finde keinen...



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2017-02-19 15:51


2017-02-19 15:41 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 15 schreibt:
Wenn ich fed-Code einblenden
nach y ableite, kommt 0 heraus.

Das kann nicht sein. <math>F_x</math> ist die erste Komponente von <math>\vec F</math>, und die hängt offensichtlich von <math>y</math> ab.

Bitte poste deine vollständige Rechnung mit allen Schritten.

Grüße,
PhysikRabe


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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-19 17:47


Ok dann liegt hier mein Problem. Ich weiß nämlich nicht wie ich fed-Code einblenden
berechne, wenn ich den Vektor r nicht als Betrag hin schreibe. Was ist denn die Ableitung von der x Komponente des Kraftfelds nach y? Muss ich bei der Aufgabe implizit differenzieren?



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-02-19 19:09


2017-02-19 17:47 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 17 schreibt:
Muss ich bei der Aufgabe implizit differenzieren?

Du musst die Ableitungsregel

    <math>\displaystyle {\partial\over\partial r_i}\;r=
{r_i\over r}</math>    also z.B.    <math>\displaystyle {\partial\over\partial x}\;r=
{x\over r}</math>

kennen oder einmal aus der Definition <math>r=\sqrt{r_1^2+r_2^2+r_3^2}</math> herleiten und dann mit der Produkt- und Kettenregel kombinieren.



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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-19 21:45


Hmm die Ableitung von r nach x ist also fed-Code einblenden
Wenn ich aber r^3 auch ableite, komme ich doch auf ein seltsames Ergebnis.
Ich versuche also nach lulas Formel zu differenzieren. Dann bekomme ich für den 1.Therm nach x abgeleitet fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
. Ich kann mir nicht vorstellen dass das stimmt, deshalb rechne ich jetzt auch nicht weiter. Sollte ich das doch richtig gemacht haben, werde ich das natürlich fertig durchrechnen...



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2017-02-20 00:06


Betrachten wir mal <math>F_x</math> (und lassen dabei den Vorfaktor <math>-GmM</math> weg):

    <math>\displaystyle {x\over r^3}</math>

Wenn wir das nun z.B. nach <math>y</math> ableiten wollen, können wir zuerst die Produktregel anwenden:

    <math>\displaystyle
{\partial\over\partial y}\;{x\over r^3} =
{\partial x\over\partial y}\;{1\over r^3} +
x\;{\partial\over\partial y}\;{1\over r^3} = \cdots
</math>

Der erste Term verschwindet wegen <math>{\partial x\over\partial y}=0</math>, und für den zweiten musst Du Dich daran erinnern, wie Du in der Schule Potenzen abgeleitet hast, <math>{{\rm d}\over{\rm d}r}\,{1\over r^3}={-3\over r^4}</math>, und dann zur Kettenregel und zu der Formel aus Beitrag No. 18 greifen:

    <math>\displaystyle \cdots =
x\;{-3\over r^4}\;{y\over r} =-3\;{x\,y\over r^5}</math>

P.S.  Therm, Term



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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-20 09:45


Ich verstehe aber nicht warum ich fed-Code einblenden
ableite. Im Beitrag #18 hast du mir erklärt, warum fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
gilt. Wieso leitest du aber x und nicht r ab und wieso leitest du dann den r^3 Term ganz normal ab und beachtest nicht, dass es ja eigentlich fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Wenn ich allerdings so ableite, dann komme ich auf fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
was ja dann 0 ergibt.



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2017-02-20 17:02


2017-02-20 09:45 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 21 schreibt:
[...] und wieso leitest du dann den r^3 Term ganz normal ab und beachtest nicht, dass es ja eigentlich fed-Code einblenden

Dass man so vorgehen kann, ist doch gerade die Aussage der Kettenregel:

* Ich berechne einmal <math>{\partial\over\partial x}\,r={x\over r}</math> unter Beachtung von <math>r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>.

* Die Kettenregel liefert mir dann die Ableitung <math>{\partial\over\partial x}\,f(r)</math> für beliebige Funktionen <math>f</math>, insbesondere auch für <math>f(r)=1/r^3</math>.



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NoNameTI-30x
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-20 17:22


Hmm ok ich glaub es dämmert mir jetzt so langsam. Wer das nochmals langsam durchrechnen.
Danke auf alle Fälle für die Hilfe!



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2017-02-20 18:24


dromedar hat das bereits geschrieben, aber um das nochmal ins Gedächtnis zu rufen: <math>\displaystyle\frac{x}{r^3}</math> bzw. <math>\displaystyle\frac{y}{r^3}</math> bzw. <math>\displaystyle\frac{z}{r^3}</math> ist (ohne den Vorfaktor <math>-GmM</math>) gerade die erste bzw. zweite bzw. dritte Komponente des Vektors <math>\vec{F}</math>. Diese werden nach <math>x</math>, <math>y</math> oder <math>z</math> abgeleitet, wie es für die Rotation notwendig ist, und da jedes Mal <math>r</math> von <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> abhängig ist, musst du die Kettenregel anwenden.

2017-02-19 15:41 - NoNameTI-30x in Beitrag No. 15 schreibt:
Wo ist der Fehler in Beitrag 12? Ich finde keinen...

Die erste Komponente von <math>\nabla \times \vec{F}</math> ist <math>\displaystyle\frac{\partial \mathbf{F_z}}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}</math>.

Grüße,
PhysikRabe


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NoNameTI-30x hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
NoNameTI-30x hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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