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Analysis » Folgen und Reihen » Häufungspunkte einer Folge
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Universität/Hochschule J Häufungspunkte einer Folge
Linkef8
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-03-08


Guten Morgen!

Ich sitze wieder einmal vor einer Aufgabe, deren Lösung ich größtenteils kenne, bei der mir aber die Beweise schwerfallen:

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Folgende Ideen habe ich:

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Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann  smile

Vielen Dank schon einmal im Voraus!



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-08


Hallo,

rechne zur Lösung von a) mal ein paar mehr Folgeglieder aus, dann wirst du feststellen, dass es nur endlich viele gibt deren Abstand zu 3/2 kleiner als 1/10 ist.
Mit -1 hast du recht, dies ist ein Häufungspunkt der Menge, deine Begründung reicht aber nicht.

Liebe Grüße

EDIT: Fehler korrigiert



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Linkef8
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-08


Habe jetzt noch einmal durchgerechnet, aber ich komme auf kein Folgenglied, das größer als 3/2 ist. Für n=4 ist es 5/4, für n= 6 7/6. Und die Werte für ungerade n fallen ja sowieso raus, da die sich nur zwischen 0 und 1 bewegen. Oder habe ich dich missverstanden?

Warum reicht es nicht aus, zu zeigen, dass die Funktion

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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-03-08


Achso, nee, sorry, es gibt kein Folgeglied größer als 3/2, aber es gibt trotzdem nur endlich viele Folgeglieder, deren Abstand kleiner als 1/10 zu 3/2 ist.
Zum Beispiel ist
<math>\displaystyle \sup\{ a_k\mid k\in \mathbb N, k\geq 4\} < \frac 32.</math>
Deshalb kann 3/2 kein Häufungspunkt der Menge und auch nicht der Folge sein.

Im Prinzip hast du bei -1 schon recht, dass du eine Folge findest, deren sämtliche Folgeglieder in  der Menge <math>\{ a_k\mid k\in \mathbb N\}</math>  findest, die gegen -1 konvergiert.

Alles gut, du hast recht mit deiner Teilfolge. Begründet, dass dies der kleineste Häufungspunkt ist, hast du ja auch im Prinzip :)



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Linkef8
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-08


Dann müsste 3/2 aber doch auch das Supremum der Folge bzw. der Menge der Folgenglieder sein, oder? Also die Lösung für (1).
Wir haben ja schon geklärt, dass das kein Häufungspunkt ist, aber bei (2) komme ich ja trotzdem auf den lim sup = 3/2. Wo liegt da mein Fehler?
Und ich gehe davon aus, dass es keine weiteren Häufungspunkte neben 1 und -1 gibt, aber wie zeige ich das?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-03-08


Hi,

ja, aber die Mengen <math>A_k:=\{a_n\mid n\geq k\}</math> haben für k>2 kleine Suprema. Somit ist der Grenzwert kleiner bei (1).

Zeige für (3), dass für jede reelle Zahl <math>a</math> und jede reelle Zahl <math>\varepsilon>0</math> höchstens endlich viele Folgeglieder <math>a_n</math>
<math>\displaystyle |a_n-a|<\varepsilon</math>
erfüllen.



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Linkef8
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-08


Ah, ok. Langsam wird es mir klar.

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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-03-08


Hallo nochmal,

zu (1)
Die Infima der Mengen
<math>\displaystyle A_k=\{(-1)^n + \frac{1}{n} \mid n\geq k\}</math>
sind alle -1, unabhängig von der Wahl des <math>k</math>, da -1 sogar Häufungspunkt jeder der Mengen ist.

Die Suprema der Mengen
<math>\displaystyle A_k=\{(-1)^n + \frac{1}{n} \mid n\geq k\}</math>
sind alle <math>1+\frac{1}{2\lceil\frac{k}{2}\rceil}</math> abhängig von der Wahl des <math>k</math>.

Du meinst aber das richtige, vermute ich.

zu (3)
Du nimmst eigentlich nicht an, dass es nur die beiden Häufungspunkte gebe. Im Gegenteil, du nimmst an, dass es noch (mindestens) einen weiteren gäbe. Das führst du zum Widerspruch.





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Linkef8
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-08


Vielen Dank!
Dass ich bei (3) einen Beweis durch Widerspruch machen muss, war mir schon bewusst. Hätte ich vielleicht klarer ausdrücken müssen. Dann werde ich mich mal daran versuchen.



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Linkef8
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-20


Ist zwar schon etwas her und der endgültige Beweis hat auch funktioniert, aber ich habe da noch eine zusätzliche Frage:

Da 1 und -1 ja die Häufungspunkte zu den Teilfolgen a_2k und a_2k-1 sind, reicht es da zu sagen, dass diese beiden Teilfolgen  alle Folgenglieder abdecken und somit keine weiteren Häufungspunkte existieren können?



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shipwater
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-03-20


Ja, das reicht. Siehe Aufgabe 15 von hier, da hast du es dann auch gleich viel allgemeiner.



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Linkef8 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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