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Kein bestimmter Bereich *Innenkreise
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-03-18


Hallo

Die Höhe eines rechtwinkliges Dreiecks zerlegt dieses in zwei Teildreiecke. Wenn man die Innenkreisradien der drei Dreiecke (ursprüngliches Dreieck + 2 Teildreiecke) addiert erhält man x, wenn man die Außenkreisradien der drei Dreiecke addiert y. In welchem Verhältnis teilt die Höhe die Hypotenuse?

grußneuneuneu



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haribo
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-18


höhensatz: h²=p*q   p und q sind die beiden hypotenusenabschnitte...

aber wie ist der zusammenhang zu x und y in deiner frage gemeint?
oder wiso ist das eine knobelaufgabe
haribo



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-18


Hallo

Ich meine das Verhältnis in Abhängigkeit von x und y. Und wieseo schreibst du wieso wiso?

gruß neuneuneu



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JoeM
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Dabei seit: 28.10.2015
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Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-03-19


Hallo,

hier mein Lösungsvorschlag:


rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b, c ;


x = Summe der 3 Inkreisradien

y = Summe der 3 Umkreisradien

Dann gilt :

x = h ;

y = (a + b + c)/2 ;

Somit ---> x^2 = h^2 = p * q  ( von y unabhängig )

viele Grüße

JoeM





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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-19


Hallo

Das ist noch nicht alles. Ich suche das Verhältnis aus p und q, nicht deren Produkt.

gruß neuneuneu



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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 1715
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-03-19


Hi,

Das ist nur ein Ansatz:


Sei <math>v</math> das Verhältnis der Summe der Innkreise zur Summe der Umkreise, seien weiter <math>p</math> und <math>q</math> die beiden Hypothenusenabschnitte und <math>w</math> deren Verhältnis, so gilt
<math>\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{\sqrt{pq}}{\frac{1}{2}(\sqrt{p(p+q)}+\sqrt{q(p+q)}+(p+q))}</math>
<math>\displaystyle v=\frac{\sqrt{w}}{\frac{1}{2}(\sqrt{w(w+1)}+\sqrt{w+1}+w+1)}</math>
Das kann nun nach <math>w</math> umgestellt werden. Wahrscheinlich geht es aber viel schöner.

Das Rätsel gefällt mir. Hast du dir das selbst überlegt?




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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-19


Hallo

Deine Idee ist richtig, etwas schöner geht es aber. Ja, das Rätsel habe ich mir selbst überlegt.

gruß neuneuneu



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-20


Hallo

Wer findet eine einfache Lösung?

grußneuneuneu



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JoeM
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 252
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-03-21


Hallo,

was hat die Aufgabe mit der Summe der 3 Umkreisradien zu tun ?


x = Summe der 3 Inkreisradien; dann gilt :


Unabhängig davon: y = (a + b + c)/2 = Summe der 3 Umkreisradien

viele Grüße

JoeM



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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 1715
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-03-21


2017-03-21 00:38 - JoeM in Beitrag No. 8 schreibt:
Hallo,

was hat die Aufgabe mit der Summe der 3 Umkreisradien zu tun ?


Hi JoeM, du darfst auf der rechten Seite doch gar nicht a und b verwenden. Mehr noch, du sollst nur x und y benutzen. Ohne x oder ohne y kannst du dann gar nicht auskommen.



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haribo
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Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1382
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-03-21



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-21


Hallo

Bitte prüfe dein Beispiel!

Etwas kann da nicht stimmen. Den Nachweiß mit h kann erbracht werden mit der Anwendung der Regel, dass Tangenabschnitte gleich lang sind.

gruß neuneuneu



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haribo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1382
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-03-21


na dann gib mal zum testen ein dir in der lösung bekanntes beispiel für x und y...

meine proben bisher haben funktioniert,
beidesmal ist sowohl p+q=c als auch p/q=(A+D)/(A-D)

gezeichnet habe ich es nicht, aber ich denke das passt auch






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JoeM
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 252
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2017-03-21


Hallo Haribo,


hier meine Herleitung für x, und y:


viele Grüße

JoeM



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-21


Hallo

Ich hatte einen Gedankenfehler. Dein Beispiel ist richtig. Ich finde deine Lösung aber nicht so gut, da du gespickt hast.

gruß neuneuneu

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]



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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-03-22


Ich hab auch eine Lösung ^^


Leicht herleiten lässt sich:
<math>y = \frac{a+b+c}{2}</math> (Die Hälfte jeder Seite)
Bei <math>x = h</math> vertraue ich mal auf die anderen ^^

Nun ergibt sich:
<math>v_1 = \frac{p}{q}; v_2 = \frac{1}{v_1} = \frac{q}{p}\\
\sqrt{v_1} + \sqrt{v_2} = \sqrt{\frac{p}{q}} + \sqrt{\frac{q}{p}} = \sqrt{\frac{pc}{qc}} + \sqrt{\frac{qc}{pc}}\\
= \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{c^2}{ch} = \frac{c}{h}</math>

Dies lässt sich jetzt leicht nach <math>v_{1/2}</math> umstellen:
<math>v + 1 = \frac{c}{h} \cdot \sqrt{v} \to \sqrt{v_{1/2}} = \frac{c \pm \sqrt{c^2 - 4h^2}}{2h}\\
\to v_{1/2} = \frac{c^2 - 2h^2 \pm c \cdot \sqrt{c^2 - 4h^2}}{2h^2} = \frac{c}{2h^2} \cdot (c \pm \sqrt{c^2 - 4 h^2}) - 1</math>
Je nachdem welches Verhältnis <math>v</math> man haben möchte.

<math>h = x</math> kennen wir, so fehlt noch <math>c</math>.
Dabei hilft:
<math>(a+b+c)^2 = (a^2+b^2)+c^2+2(ab)+2c(a+b)\\
= (c^2)+c^2+2(ch)+2c(a+b)\\
= 2c \cdot \{c+h+a+b\}</math>

Nun einfach einsetzen <math>h = x</math> und <math>a+b+c=2y</math>:
<math>4y^2 = 2c \cdot (2y+x) \to c = \frac{2y^2}{2y+x}</math>

Aus <math>x</math> und <math>y</math> kann man nun <math>h</math> und <math>c</math> berechnen, und daraus eins der gesuchten Verhältnisse <math>v</math>.


Stylische Zusammenfassung:




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2017-03-22



schöne herleitung für x, JoeM!

haribo



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-22


Hallo

Der Strahlensatz sollte bei der Herleitung helfen.




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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-03-22






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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2017-03-22


Was mir bei JoeM noch fehlt bzw. ich nicht so einfach sehe / kenne:




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2017-03-22


2017-03-22 09:36 - MartinN in Beitrag No. 18 schreibt:


THX, ich bin beeindruckt, aber geometrisch fällt es mir weiterhin schwer
haribo



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-22


Hallo haribo

Beachte, dass Tangentenabschnitte an Kreise gleichlang sind. Dann ist r_i=(a+b-c) fast trivial.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2017-03-23


moin neuneu,

also ich meinte den anderen beweis von martinN
mit "fläche zum quadrat" D^2=A^2-h^4

haribo



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2017-03-23


Aber das von JoeM sehe ich jetzt auch :D


Rechtwinkliges Dreieck ABC mit Rechtem Winkel an C habe den Inkreis k mit Radius r und Mittelpunkt M. Der Kreis k berührt dabei:
AB in P
BC in Q
AC in R

Da MP, MQ und MR jeweils senkrecht auf den betreffenden Seiten stehen (da der Kreis k diese sonst nicht berührt), sind die Winkel bei P, Q und R rechtwinklig. Damit ist nach der Innenwinkelsumme MQCR ein Rechteck. Da MQ = MR = r, sogar ein Quadrat. Somit auch:
CQ = CR = r

Des Weiteren sind auch die Vierecke MRAP und MPBQ rechtwinklige Drachenvierecke (Winkel bei P, Q und R jeweils rechtwinklig; MP = MQ = MR = r). Somit auch:
AR = AP = s
BP = BQ = t

Nun sieht man leicht:
AC + BC - AB = (r+s) + (r+t) - (s+t) = 2r



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