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Mathematik » Stochastik und Statistik » unabhängig, identisch verteilt, Verteilung
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Universität/Hochschule unabhängig, identisch verteilt, Verteilung
PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-03-19 06:45


Hallo,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Gegeben sei eine Folge unabhängiger, identisch Bern(n,p)-verteilter Zufallsgrößen <math>Y_1, Y_2,\dotso</math>, die die Wurfergebnisse (0 oder 1) bei wiederholtem werfen einer p-Münze beschreiben (0<p<1).
Sei <math>X_1</math> die Anzahl der Würfe, bevor zum ersten mal die "1" registriert wird, und <math>X_k</math> für <math>k\geq 2</math> die entsprechende Anzahl der Würfe zwischen dem (k-1)-ten und k-ten Auftreten der "1", folglich

<math>X_1=\inf\{n\geq 0:Y_{n+1}=1\}</math>

<math>X_k=\inf\{n\geq 0:Y_{X_1+X_2+\dotso+X_{k-1}+k+n=1\}</math> für <math>k\geq 2</math>.

a) Zeigen Sie per Induktion, dass <math>X_1, X_2,\dotso</math> unabhängig und identisch verteilt sind und bestimmen sie deren Verteilung.

b) Bestimmen Sie die Verteilung <math>S_n=\sum_{k=1}^n X_k</math> für <math>n\geq 1</math>.


Zu a)

Ich zeige induktiv, dass <math>X_1, X_2,\dotso</math> unabhängig und identisch verteilt sind.
Sei p die Wahrscheinlichkeit für eine "1" und (1-p) die Wahrscheinlichkeit für eine "0".

Für den Induktionsschritt ist zu zeigen, dass

<math>P(X_1=x_1, X_2=x_2)=P(X_1=x_1)P(X_2=x_2)</math> für alle <math>x_2>x_1</math> gilt.
Sei <math>x_1</math> also gegeben.
Dann ist <math>P(X_1=x_1, X_2=x_2)=p(1-p)^{x_2-x_1-1}=P(X_2=x_2)</math> für alle <math>x_2>x_1</math>.

Der Induktionsschritt funktioniert dann analog.

Die <math>X_i</math> sind also jeweils unabhängig und <math>Geo(p)</math> verteilt.

Ich bin mir leider unsicher, ob das für die a) tatsächlich schon alles war?

Bei der b) würde ich dann ebenfalls induktiv mithilfe der Faltungsformel die Verteilung berechnen.

Dann ist <math>p^{X_1+X_2}(z)=p^{X_1}\ast p^{X_2}(z)=\sum_{z=x_1}^\infty P(X_1=x_1)P(X_2=z-x_1)=\sum_{z=x_1}^\infty p(1-p)^{x_1-1}p(1-p)^{z-x_1-1}=\frac{p(1-p)^{x_1}}{(1-p)^2}</math>

und induktiv dann <math>p^{S_n}(z)=\frac{p^{n-1}(1-p)^{x_{n-1}}}{(1-p)^n}</math>.

Ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet.


Über eine Korrektur würde ich mich sehr freuen.
Danke.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-21 06:05


Ich push mal den Thread.

Über Antworten freue ich mich sehr. :)



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