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Analysis » Stetigkeit » gleichmäßige Stetigkeit
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Universität/Hochschule gleichmäßige Stetigkeit
ana21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-03-20


Aufgabe:
Sei a>0 Zeigen Sie dass die Funktion x--><math>e^x</math> auf dem Intervall <math>(-\infty,a]</math> gleichmäßig stetig ist:
Dachte ich führe den Beweis mit Hilfe der Lipschitz Stetigkeit, allerdings scheitert es bei mit bei der Findung der Konstante L



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Maurizio_1995
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-20


Hallo,
als L kann man eine obere Schranke für den Betrag der Ableitung nehmen, falls die Funktion, wie in diesem Beispiel, differenzierbar ist. Das lässt sich glaube ich leicht mit dem Mittelwertsatz (der Differentialrechnung) beweisen, falls du das noch nicht kennst. :)

Gruß Maurizio



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ana21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-20


Hier bin ich leider nicht weitergekommen. Wir hatten noch keine Ableitungen.
Ich weis nicht wie man das L bestimmt.



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Maurizio_1995
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-03-20


Achso, dann zeig es vielleicht lieber direkt, du willst zeigen, dass es zu <math>\epsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> gibt, mit <math>x,y \in (-\infty,a]</math> und <math>|x-y| < \delta \quad \Rightarrow \quad |e^x-e^y| < \epsilon</math>.
Man kann OBdA <math>x>y,</math> also <math>x = y+h, \: h>0</math> annehmen, dann ist

<math>\displaystyle e^x-e^y = e^x-e^{x-h} = e^x(1-e^{-h}).</math>

Versuch doch mal ob du damit vielleicht weiterkommst, wie kann man <math>e^x</math> abschätzen, wie hängt das <math>h</math> mit dem <math>\delta</math> zusammen?

Gruß Maurizio



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-03-20


Hallo
 du hast doch
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Gruß ledum


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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ana21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-20


Maurizio_1995 Wo hast du das h herbekommen. Sollte man dies dann in die Summenformel umschreiben. Ich stehe auf den schlauch
// kommst du auch aus LEJ und studierst dort Mathe



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ana21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-20


Wage Vermutung:
 <math>x = y+h, \: h>0</math>
=<math>x-y=h</math>
==<math>|x-y|=h<d</math>



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Maurizio_1995
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-03-20


Ja, also <math>h</math> ist einfach <math>x-y</math>, ich dachte dadurch wird es übersichtlicher. Du meinst wohl <math>h < \delta</math>, das ist richtig. Jetzt kann man wegen der Monotonie der Exponentialfunktion und weil <math>(1-e^{-h}) > 0</math> ist wie folgt abschätzen

<math>\displaystyle e^x(1-e^{-h}) \leq e^a(1-e^{-h}) < e^a(1-e^{-\delta}).</math>

Ist das klar so weit? :)

Auf der rechten Seite tauchen jetzt <math>x</math> und <math>y</math> gar nicht mehr auf, du müsstest also nur noch begründen, dass man zu <math>\epsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> finden kann, sodass die rechte Seite kleiner als <math>\epsilon</math> ist.

Ja, ich studiere Mathe in Leipzig, komme aber ursprünglich aus Kassel :)



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ana21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-20


Ich habe ein paar Problem:
1) wieso tauscht du <math>e^x</math> durch <math>e^{-h} aus</math>
2) wie stelle ich den ganzen Ausdruck nach Delta um

Frage
Ändert es etwas an der Abschätzung wenn ich ein anderes Intervall habe, wie von a  bis unendlich



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Maurizio_1995
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-03-20


2017-03-20 21:08 - ana21 in Beitrag No. 8 schreibt:
1) wieso tauscht du <math>e^x</math> durch <math>e^{-h} aus</math>
Ich weiß nicht genau was du meinst, in Beitrag 3 habe ich ja in der Gelichngskette bloß die Funktionalgelichung der e-Funktion verwendet (<math>e^{x+y} = e^xe^y</math>) und dann ausgeklammert. Und in der Ungleichungskette aus Beitrag 7 mach ich die Abschätzungen <math>e^x \leq e^a</math> und <math>(1-e^{-h}) < (1-e^{-\delta})</math>, welche auf der Monotonie der e-Funktion beruhen.

2017-03-20 21:08 - ana21 in Beitrag No. 8 schreibt:
2) wie stelle ich den ganzen Ausdruck nach Delta um
Du sollst in nicht nach <math>\delta</math> umstellen, worauf ich hinauswollte war die Stetigkeit der e-Funktion, wenn du die verwendest, kannst du den Ausdruck rechts für ein geeignetes <math>\delta</math> gegen <math>\epsilon</math> abschätzen (<math>e^a</math> ist ja jetzt eine feste Zahl).

2017-03-20 21:08 - ana21 in Beitrag No. 8 schreibt:
Frage
Ändert es etwas an der Abschätzung wenn ich ein anderes Intervall habe, wie von a  bis unendlich

Auf z.B. <math>[a,\infty)</math> ist <math>f(x) = e^x</math> denke ich nicht mehr gleichmäßig stetig. Die erste Abschätzung aus Beitrag 7 würde da z.B. nicht funktionieren.




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ana21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-20


<math>\displaystyle e^x-e^y = e^x-e^{x-h} = e^x(1-e^{-h}).</math>
Ich meine diesen schritt wie du auf <math>e^{x-h}</math> kommst
Naja wenn ich deine Abschätzung dann nehme muss ich doch das dann noch umstellen also, <math>d*c<epsilon</math> <math>d<epsilon/c</math>




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Maurizio_1995
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-03-21


Naja, wenn x=y+h, dann ist y=x-h.
Von mir aus kannst du das auch nach delta umstellen, dass sollte funktionieren 😊



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ana21
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1 Problem du nimmst doch x>y an. Warum ist dann x=y+h
2 Kannst du mir dabei helfen den Ausdruck nach d umzustellen



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Maurizio_1995
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2017-03-21


1.)
Grundsätzlich gibt es ja zu zwei reellen Zahlen <math>x,y</math> immer ein <math>h \in \mathbb{R}</math> mit <math>x=y+h</math> (nämlich <math>h := x-y</math>). Für <math>x>y</math> gilt sogar <math>h>0</math>.

2.)
Das scheint mir nicht so schwierig,

<math>e^a(1-e^{-\delta}) < \epsilon \Leftrightarrow e^{-\delta} > 1-e^{-a}\epsilon.</math>

Da die linke Seite positiv ist, kann man annehmen, dass <math>\epsilon < e^a</math> ist, die rechte Seite also positiv ist. Jetzt kann man <math>\ln(\cdot)</math> auf die Ungleichung anwenden und dann steht es da.



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ana21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-22


Wenn ich die Gleichung umstelle dann komme ich auf einen Ausdruck Delta kleiner ...
Ist das korrekt



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