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Moderiert von Wally haerter
Mathematik » Differentialgleichungen » autonome nichtlineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
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Universität/Hochschule autonome nichtlineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
gkurt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-03-20 23:46


Hallo an Alle,

ich habe folgende DGL zu lösen:

<math>y''=a*\sqrt{1+(y')^2}</math> , <math>a>0</math>

Könnt ihr mir vielleicht helfen die allgemeine Lösung zu bestimmen?
Über jede Hilfe würde ich mich sehr freuen..

Viele Grüße



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-20 23:58


Hi,

da gibts ja gar kein y ohne Ableitung, soll das so? Wenn das so ist, dann ist es gar keine richtige DGL (und eigentlich auch keine so richtige Funktionalgleichung). Du kannst dann y' als eine Variable betrachten, die nicht von der Zeit abhängt. Stelle einfach nach y' um. Dann steht rechts ein konstanter Ausdruck. Dann brauchst du nur noch zu integrieren.

Edit: Hat sich erledigt, der Startbeitrag wurde geändert.



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gkurt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-21 00:05


Entschuldige für das Fehler. es musste 2. Ordnung sein



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-03-21 00:27


Ok, das löst man mit Trennung der Variablen. Setze <math>x(t):=y'(t)</math>, dann steht dort
<math>\displaystyle \frac{dx}{dt}=a\cdot \sqrt{1+x^2}</math>
Weißt du, wie man Variablen trennt?




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gkurt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-21 00:52



<math>\frac{dx}\sqrt{1+x^2}</math>=<math>a*dt</math>

und integriere beide Seite, dann

<math>ArcSinh(x)+c1=a*t+c2</math>

Ist es so richtig?

Grüße




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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-03-21 01:05


Schön :)

Benutze bitte \cdot statt * in der math-Umgebung und unterbreche sie bitte nicht für ein Gleichheitszeichen.
Schreibe Funktionen der Art \arcsin, \sin, \ln oder \exp in die math-Umgebung mit einem \backslash davor. Wenn du Variablen Indize gibst, dann mit einem Unterstrich z.B. c_1



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gkurt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-21 01:31


<math>\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=a\cdot dt</math>

Nach Integration auf beide Seite:

<math>\arcsin x=a\cdot t+C</math>

danke für die Erinnerung :)





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gkurt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-21 01:39


wie kann man weitergehen?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-03-21 07:30


Was ist denn die Umkehrfunktion des arcsinh? Letztendlich soll das x allein auf der linken Seite stehen. Ersetze es dann wieder durch y' und integriere erneut.



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gkurt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-21 21:20


Hallo,

<math>x=y'=\sin(a\cdot t+c_1)</math>

<math>y=-\cos(a\cdot t +c_1)\cdot(\frac{a\cdot t^2}2+c_1\cdot t)+c_2</math>

Ist das stimmt ?

Vielen Dank nochmal für die Hilfe,
Grüße




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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-03-21 22:02


Nein, das stimmt leider nicht. Du versuchst die Substitutionsregel des Ableitens zu verwenden. Du integrierst hier aber, deshalb musst du sie Substitutionsregel für das Integrieren anwenden.
Es geht hier auch um den Sinus hyperbolicus und nicht den normalen Sinus.



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gkurt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-21 22:54


jaaa genau.. ich muss noch viel zu viel lernen aber danke vielmals für die Hilfe

<math>z=a\cdot t+c_1</math> dann folgt <math>dt=\frac{dz}a</math>
wenn man Sin(z) nach dt integriert bekommt man als Ergebnis

<math>y=C-\frac{\cos(z)}a</math>

Ich hoffe hab ich keine Fehler!
grüße



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