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Analysis » Funktionen » Lipschitzkonstante
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Universität/Hochschule J Lipschitzkonstante
Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-04-03


Halli hallo.

Ich verstehe nicht ganz, wie man die Lipschitzkonstante erhält.


Es sei I := [0,∞]. Weiter erfüllt f(x, y) eine Lipschitzbedingung in y auf
dem Intervall I × I.


<math>f(x,y) = x^2 +2y</math>,  L=2


Woher weiß ich, dass L=2 ist?

Für Lipschitzstetigkeit muss gelten

|f(x)- f(y) <math>\le</math>,  L|x-y|

Jetzt setze ich ein:

<math>|x^2+2y - (y^2 + 2y)| = |x^2 - y^2 + 2x - 2y| = |x^2 +y^2 + 2(x-y)| \le |x^2| + |y^2| + |2(x-y)| = |x^2| + |y^2| + 2 |(x-y)| </math>


Wenn jetzt hinten nur 2 |(x-y)| stehen würde, dann wäre mir klar, warum L=2 ist

Habe ich iwas falsch eingesetzt?

GlG



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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-03


Hi,

ganz am Anfang machst du schon den Fehler. <math>x</math> steht in der Formel der Lipschitz-Konstante für ein Element aus dem Definitionsbereich, also ein Paar <math>(x_1,x_2)</math>. Das gleiche gilt für <math>y</math>. Schätze also <math>\vert f(x_1,x_2)-f(y_1,y_2)\vert</math> gegen <math>2\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}</math> ab.



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-03


Hwii ochen,

ich weiß nicht wie ich das mit den Vektoren handhaben soll....
GlG



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Wally
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Mitteilungen: 7850
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-04-03


Wahrscheinlich geht es um Dgl. also eine Lipschitzbedingung bzl. y.

Wally



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Polar_regen
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Dabei seit: 16.08.2016
Mitteilungen: 570
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-04


Heii Wally und ochen,


ja Wally hat recht, es geht um eine DGl mit der Lipschitzbed. bzgl. y...Entschuldigt bitte, dass ich das nicht dazu geschrieben habe


GlG



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lula
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Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 10493
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-04-04


Hallo
 L kann man bei differenzierteren  Funktionen durch df/dy bestimmen, und das ist bei dir 2
bis dann, lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Polar_regen
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-04


heii lula :-)

danke sehr, diese Methode ist sehr einfach.

gibt es auch noch einen anderen Weg, der nicht über das differenzieren erfolgt?


GlG



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BlakkCube
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Dabei seit: 12.02.2010
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Aus: Potsdam
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-04-04


Hallo Polar_regen,

anschaulich ist die Lipschitz-Konstante eine obere Schranke für den Betrag des Differenzenquotienten. Sie beschränkt also das Wachstum der Funktion.

In dem von Dir vorgstellten Fall muss also für alle x und alle <math>\displaystyle y_1\neq y_2</math> gelten:

<math>\displaystyle  \frac{|f(x,y_1)-f(x,y_2)|}{|y_1-y_2|} \leq L</math>

Setze in die linke Seite einfach mal das Dir gegebene f ein.


-----------------
'Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.'
- Jean-Baptist le Rond d'Alembert



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Polar_regen
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-04


Hallo BlakkCube, das habe ich ja im Themenstart versucht..ich weiß nicht wie ich es besser bzw. richtig einsetzen soll.

Kannst du mir da helfen?

GlG



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BlakkCube
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Aus: Potsdam
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-04-04


Du weißt doch, dass <math>\displaystyle f(x,y)=x^2+2y</math> ist. Was ist dann <math>\displaystyle f(x,y_1)</math>? Was ist <math>\displaystyle f(x,y_2)</math>? Was ist dann <math>\displaystyle f(x,y_1)-f(x,y_2)</math>?

Setze das einfach mal ein.


-----------------
'Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.'
- Jean-Baptist le Rond d'Alembert



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-05


Hallo BlakkCube,

danke für die Erinnerung an das was ich gegeben habe...

Es gilt:

<math>|f(x,y_1) - f(x,y_2)| = |x^2 +2y_1 - (x^2 +2y_2)| = |x^2 - 2y_1 -x^2 - 2y_2| = |2y_1 - 2y_2|= |2(y_1-y_2)| = 2 |y_1 - y_2|</math>

Ich habe jetzt auch mein Problem erkannt, ich habe statt y_1 und y_2 oben x und y verwendet und das darf ich in diesem Fall nicht machen, weil die Funktion schon mit x und y gestaltet ist, da ich ja sonst (wie es oben passiert ist) falsch einsetze.

Wäre x gleich t, so hätte ich x und y verwenden können also:

<math>f(t,y) = t^2 + 2y </math>

<math>|f(t,x) - f(t,y)| = |t^2 +2x - (t^2 +2y)| = |t^2 - 2x -t^2 - 2y| = |2x -2y| = |2(x-y)| = 2 |x-y|</math>

Ich war verwirrt, wegen den Variablen...Aber gut, dass wir das geklärt haben, weil man muss das ja unabhängig davon, welche Variablen verwendet werden beherrschen, was ich jetzt zukünftig hoffentlich kann.

GlG



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-08


Hall Leute,

ich habe es scheinbar doch noch nicht begriffen, weil ich scheitere am nächsten Beispiel:


Es sei I := [0,∞]. Weiter erfüllt f(x, y) eine Lipschitzbedingung in y auf
dem Intervall I × I.


<math>f(x,y) = \frac{1}{1+x^2} \cdot y</math>

Ih habe das mal für mich umgeschrieben zu:

<math>f(t,y) = \frac{1}{1+t^2} \cdot y</math>

Dann erhalte ich:

<math>|f(x) -f(y)| = |  \frac{1}{1+t^2} \cdot x - \frac{1}{1+t^2} \cdot y | = | \frac{1}{1+t^2} (x-y)| = \frac{1}{1+t^2} |x-y| </math>


Bei mir wäre L = <math>\frac{1}{1+t^2} </math>

Laut Musterlösung ist aber: L =1


Was habe ich denn jetzt falsch gemacht?

GlG



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-04-08


Hallo Polar_regen,

2017-04-08 11:07 - Polar_regen in Beitrag No. 11 schreibt:
Bei mir wäre L = <math>\frac{1}{1+t^2} </math>
[...]
Was habe ich denn jetzt falsch gemacht?

Eine Lipschitzkonstante ist eine Konstante und kann daher nicht von <math>t</math> abhängen.

Um von Deiner Abschätzung

    <math>\displaystyle |f(t,x)-f(t,y)|\le
{1\over1+t^2}\;|x-y|</math>

auf eine Abschätzung in der gesuchten Form

    <math>\displaystyle |f(t,x)-f(t,y)|\le
L\,|x-y|</math>

zu kommen, musst Du Deinen Faktor <math>{1\over1+t^2}</math> weiter nach oben abschätzen.

Grüße,
dromedar



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-08


Hallo dromedar,

okay heißt das, bis zu meinem letzten Schritt

<math>|f(x) -f(y)| = |  \frac{1}{1+t^2} \cdot x - \frac{1}{1+t^2} \cdot y | = | \frac{1}{1+t^2} (x-y)| = \frac{1}{1+t^2} |x-y| </math>


habe ich alles richtig gemacht?

Ich habe das mit dem Abschätzen nie verstanden..wie macht man sowas denn generell und speziell hier?

PS: Ich weiß ja, dass L= 1 raukommen soll, das erhalte ich, wenn ich dem limes für t gegen 0 bilde. Ist das das Abschätzen? Woher weiss ich dann, dass ich t gegen 0 bilden muss? Könnte ja auch t gegen unendlich machen

GlG



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-08


Haii,

oder ist das einfach nur, dass ich sage, dass

<math>1 > \frac{1}{1+t^2}</math> ist und mehr nicht?

Weil 1 das kleinste ist was rauskommen kann, falls t z.B. 0 ist

GlG



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-04-08


2017-04-08 11:57 - Polar_regen in Beitrag No. 14 schreibt:
oder ist das einfach nur, dass ich sage, dass

<math>1 > \frac{1}{1+t^2}</math> ist und mehr nicht?

Ja , bis auf das "<math>></math>", das ein "<math>\ge</math>" sein sollte).

2017-04-08 11:57 - Polar_regen in Beitrag No. 14 schreibt:
Weil 1 das kleinste ist was rauskommen kann, falls t z.B. 0 ist

Ja, bis auf das "das kleinste", das "das größte" sein sollte.



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-08


Hallo dromedar,

vielen Dank für die Antwort und die Verbesserung.

Das kleinste und größte habe ich versehentlich vertauscht, das <math>\ge</math> habe ich nicht bedacht.


GlG



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-05 04:56


Hallo.

Ich  würde gerne zeigen, dass <math>y'=\sqrt{|y|}</math> lokal lipschitzstetig ist.

Mein Start:

<math>|f(t,y)-f(t,x)| \le L|y-x|</math>
<math>|\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|} \le L|x-y|</math>

Wie geht es jetzt weiter?

PS: <math>d_yf(t,y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}</math> die muss ja eschränkt sein, wenn sie lokal lip. stetig sein soll, oder?

GlG



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-10-05 19:11


2017-10-05 04:56 - Polar_regen in Beitrag No. 17 schreibt:
Ich  würde gerne zeigen, dass <math>y'=\sqrt{|y|}</math> lokal lipschitzstetig ist.

Das wird Dir nicht gelingen, weil es die rechte Seite im Punkt <math>y=0</math> nicht ist.


PS  Darum ging es doch schon in Deinem parallelen Thread zum Thema lokale Eindeutigkeit von Anfangswertproblemen:

2017-09-29 09:24 - dromedar in Beitrag No. 6 schreibt:
Dass für <math>y_0=0</math> keine Eindeutigkeit vorliegt, liegt daran, dass die rechte Seite der DGL im Punkt <math>y=0</math> nicht lokal Lipschitz-stetig ist, so dass der Satz von Picard-Lindelöf nicht anwendbar ist.



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-13 00:14


Hallo dromedar,

stimmt, das war wohl der Stress vor der Prüfung, wo ich nochmal alles durcheinander geworfen habe.

Aber an dieser Stelle kann ich dir nochmals danken, dass du mich bei sooo vielen Fragen begleitet hast und oft verdammt gute Hilfen gegeben hast!

Ich werde mit Sicherheit auch bei dem nächsten Thema wieder Rat hier im Forum suchen und hoffe, dass du dann auch noch da bist:-)


Natürlich gilt mein Dank auch den anderen, die mir geholfen haben und es möglicherweise weiter tun werden :-))

Gaaanz liebe Grüße




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