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Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Dichtematrix für einen Spin-1/2-Zustand bestimmen
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Universität/Hochschule J Dichtematrix für einen Spin-1/2-Zustand bestimmen
Gamdschiee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-04-20


Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe zur Dichtematrix:


Die angegebene Pauli-Matrix ist ja <math>\displaystyle \sigma_z=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math> und die Definition der Dichtematrix ist <math>\displaystyle \rho(x,y)=<x|\hat{\rho}|y></math> wobei der Dichteoperator  <math>\displaystyle \hat{\rho} = \sum_i p_i |\Psi_i><\Psi_i|</math> ist.

Und für Teil a.) soll ich mit Hilfe der Eigenschaften Tr<math>\displaystyle\rho = 1</math>(spur) und <math>\displaystyle \rho^t=\rho</math> (hermetische Matrix).

Es gibt hier ja zwei Zustände im Prinzip, also kann man die Dichtematrix gleich so schreiben: <math>\displaystyle \rho=p_1 |\Psi_1><\Psi_1|+p_2 |\Psi_2><\Psi_2|</math>

Und dann gilt noch <math>\displaystyle p_i = \frac{N_i}{N_1 + N_2}</math> und i=1,2. N_i ist ein Teilchen im jeweiligen Zustand <math>\displaystyle Psi_i</math>.  

Aber mir jetzt nicht ganz klar, wie ich das von vorne angehe. Ich kenne ja kein Teilchen N in den jeweiligen Zuständen, oder? Ich kenn nur die Eigenvektoren und -werte der Pauli-Matrix <math>\displaystyle \sigma_z</math>.

Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben, wie ich das eingehen könnte?


(obiges habe ich aus www.physik.uni-siegen.de/quantenoptik/lehre/hauptseminarqm/dichtematrix.pdf, habe mir das vor dem Fragen durchgelesen.)

Gruß
Gamdschiee



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-21


Hallo Gamdschiee,

2017-04-20 17:45 - Gamdschiee im Themenstart schreibt:
[...] (hermetische Matrix) [...]

hermetisch <math>\ne</math> hermitesch.

2017-04-20 17:45 - Gamdschiee im Themenstart schreibt:
Es gibt hier ja zwei Zustände im Prinzip, also kann man die Dichtematrix gleich so schreiben: <math>\displaystyle \rho=p_1 |\Psi_1><\Psi_1|+p_2 |\Psi_2><\Psi_2|</math>

Für Teil (a) sollst Du wirklich nur <math>\mathop{\rm Tr}\rho=1</math> und <math>\rho^\dagger=\rho</math> ausnutzen. Schreibe also z.B.

    <math>\displaystyle \rho=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math>

hin und überlege Dir, welche Bedingungen sich daraus für <math>a,b,c,d\in\Bbb C</math> ergeben.

Grüße,
dromedar



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Gamdschiee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


Achso, danke.

Dann muss folgendes gelten, sodass \rho eine Dichtematrix sein kann:
<math>\displaystyle \Tr \rho = a+d= 1</math>

Die adjungierte Matrix lautet dann:
<math>\rho^\dagger=\begin{pmatrix}a^*&c^*\\b^*&d^*\end{pmatrix}</math>

Und weil es eine hermitesche Matrx ist gilt auch:
<math>\rho^\dagger=\rho</math> für <math>\displaystyle a=a^*</math>, <math>\displaystyle b=c^*</math>, <math>\displaystyle c=b^*</math> und <math>\displaystyle d=d^*</math>.

D.h. a und d müssen reell sein und sich zu 1 addieren. Wenn b z.B. reell ist muss c auch rell sein. Also können b und c entweder rell oder imaginär sein, oder halt beides.

Fehlt noch etwas? Oder ist das so richtig?



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-04-21


2017-04-21 14:29 - Gamdschiee in Beitrag No. 2 schreibt:
D.h. a und d müssen reell sein und sich zu 1 addieren.

Das ist richtig.

2017-04-21 14:29 - Gamdschiee in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn b z.B. reell ist muss c auch rell sein. Also können b und c entweder rell oder imaginär sein, oder halt beides.

Das ist eigentlich nicht relevant. Wichtig ist <math>c=b^*</math>.



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Gamdschiee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


Okay, danke!!

Bei Punkt (b) sind ja Observablen gegeben. Das sind Messgrößen die mit einem bestimmten Operator im Hilbertraum sind oder?

Und es gilt doch, dass der Erwartungswert der Messgröße <math>\displaystyle <A>=\TrA\cdot\rho</math> ist. Hier handelt es sich noch immer um die Dichtematrix oder? Weil dann hätte ich einfach eine Matrixmultiplikation.

Also gilt: <math>\displaystyle <A>=\mathop{\rm Tr} A\cdot\rho=2=5a-3d</math> und mit <math>\displaystyle a+d=1</math> komme ich auf d=3/8 und a=5/8. Richtig?

Nur frage ich mich, wie ich auf b und c komme. Kannst du mir bitte einen Tipp geben?



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-04-21


2017-04-21 15:20 - Gamdschiee in Beitrag No. 4 schreibt:
<math>\displaystyle <A>=\TrA\cdot\rho</math>

Du solltest Deine Beiträge nach der Erstellung auch mal durchlesen, um solche sinnentstellenden Fehler zu vermeiden.

2017-04-21 15:20 - Gamdschiee in Beitrag No. 4 schreibt:
Nur frage ich mich, wie ich auf b und c komme.

Wegen <math>c=b^*</math> ist nur noch die komplex Zahl <math>b</math> zu bestimmen. Schreib also hin, was Du über <math>\rho</math> schon weißt,

    <math>\displaystyle \rho=\begin{pmatrix}{5\over8}&b\\
\vrule height 14pt width 0pt
b^*&{3\over8}\end{pmatrix}</math>  ,

berechne dann <math>\langle B\rangle</math> und <math>\langle C\rangle</math> als Funktionen von <math>b</math> und löse dann das Gleichungssystem

    <math>\displaystyle \langle B\rangle=0</math>  ,    <math>\displaystyle \langle C\rangle={1\over2}</math>

nach <math>b</math> auf.



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Gamdschiee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


Sorry, habe es bereits geändert gehabt, aber zu spät. Und danke für deine Hilfe!

Ich habe die restlichen Spuren ausgerechnet und komme somit auf folgende Dichtematrix:

<math>\displaystyle \rho=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{5\over8}&b\\ \vrule height 14pt width 0pt b^*&{3\over8}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{5}{8}&\frac{11}{32}\\ \frac{11}{32}&\frac{3}{8}\end{pmatrix}</math>

In dem Fall habe ich also eine rein reelle Dichtematrix, die a+d=1 und b*=c erfüllt.

D.h. in einer Dichtematrix stehen immer alle Information meiner gesamten Messgrößen, die ich bei einem System habe/messe?

Es handelt sich um einen gemischten Zustand da Tr<math>\displaystyle \rho^2=0,76</math> und somit kleiner 1 ist.



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dromedar
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2017-04-21 16:36 - Gamdschiee in Beitrag No. 6 schreibt:
<math>\displaystyle \rho=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{5\over8}&b\\ \vrule height 14pt width 0pt b^*&{3\over8}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{5}{8}&\frac{11}{32}\\ \vrule height 14pt width 0pt\frac{11}{32}&\frac{3}{8}\end{pmatrix}</math>

<math>b</math> ist tatsächlich reell, aber Dein Wert ist falsch.

2017-04-21 16:36 - Gamdschiee in Beitrag No. 6 schreibt:
D.h. in einer Dichtematrix stehen immer alle Information meiner gesamten Messgrößen, die ich bei einem System habe/messe?

Das ist – ganz unabhängig von dieser Aufgabe – richtig.



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