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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Darstellungstheorie » Unzerlegbare, aber reduzible Darstellung
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Universität/Hochschule J Unzerlegbare, aber reduzible Darstellung
Frettchen51
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-04-20


Hallo,

ich bin auf der Suche nach einer unzerlegbaren aber reduziblen Darstellung (von Lie-Algebren) der 1-dimensionalen komplexen Lie-Algebra <math>\mathbb{C}</math>.

Eine Darstellung einer Lie-Algebra heißt unzerlegbar, wenn sie nicht isomorph ist zu einer direkten Summe <math>V\oplus W</math>, wobei <math>U</math> und <math>V</math> beide <math>\neq 0</math> sind.

Eine Darstellung heißt irreduzibel, wenn es keinen nicht-trivialen invarianten Unterraum gibt. Andernfalls heißt sie reduzibel.

Hat jemand hierfür eine Idee, mir ist nichts gescheites eingefallen?

LG




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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-20


Hallo Frettchen51,

die endlichdimensionalen Darstellungen von <math>\Bbb C</math> haben die Form <math>\pi\colon{\Bbb C}\ni z\mapsto z\,M</math> mit irgendeiner festen Matrix <math>M\in{\Bbb C}^{n\times n}</math>. Also musst Du nach einer Matrix suchen, zu deren invarianten Unterräumen es keinen komplementären direkten Summanden gibt, der ebenfalls invariant ist. (Solche Matrizen gibt es für jede Dimension <math>\ge2</math>.)

Grüße,
dromedar



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Frettchen51
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-20


Hallo und danke für die erste Hilfe :)

Ich habe nun ein bisschen was ausprobiert, aber es will sich nichts so richtig finden lassen. Hast du einen Tipp, wie man hier vorgeht?

Schönen Abend!



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-04-21


Schau Dir z.B. mal <math>M=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}</math> an.



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Frettchen51
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


Okay, dann wähle ich den Vektorraum <math>\mathbb{C}^2</math> mit dem Lie-Algebren hom. <math>\mathbb{C}\rightarrow\text{End}(\mathbb{C}^2), z\mapsto\begin{pmatrix}0&z\\0&0\end{pmatrix}</math>.

Man zeigt dann leicht, dass das ein Lie-Algebren hom. ist. Das habe ich getan. <math>\mathbb{C}</math> ist mit dem Kommutator als Lieklammer ausgestattet oder?

Außerdem ist dann <math>\mathbb{C}e_1</math> ein invarianter Unterraum (jedes Element geht auf die <math>0</math>, liegt also insbesondere wieder in <math>\mathbb{C}e_1</math>. Damit ist die Darstellung nicht irreduzibel.

Wie gehe ich aber nun den letzten Punkt an? Kann man hier mit Dimensionen argumentieren?



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-04-21


Du könntest zeigen, dass es neben <math>{\Bbb C}e_1</math> keine weiteren invarianten Unterräume gibt.



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Frettchen51
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


Geht auch das folgende Argument: Angenommen ich habe einen Isomorphismus von Darstellungen <math>\mathbb{C}\sim U\oplus V</math>, mit <math>U,V\neq 0</math> Das ist dann insbesondere ein Isomorphismus von Vektorräumen (oder?). Dann hätte <math>\mathbb{C}</math> aber Dimension <math>2</math>.



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-04-21


2017-04-21 14:31 - Frettchen51 in Beitrag No. 6 schreibt:
Geht auch das folgende Argument: Angenommen ich habe einen Isomorphismus von Darstellungen <math>\mathbb{C}\sim U\oplus V</math>, mit <math>U,V\neq 0</math> Das ist dann insbesondere ein Isomorphismus von Vektorräumen (oder?).

Dass die Darstellung isomorph zu einer direkten Summe ist, bedeutet nicht, dass sie einen Isomorphismus zwischen der Lie-Algebra und dem Darstellungsraum vermittelt.

Das kannst Dir an dem Beispiel <math>\pi\colon z\mapsto
\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}</math> klar machen.



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Frettchen51
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


Verstehe, ok!

Aber zeigen, dass <math>\mathbb{C}e_1</math> der einzige nicht-triviale invariante Unterraum ist, gelingt mir nicht.

Also sei <math>U</math> nicht-trivialer invarianter Unterraum. Dann erfüllt <math>U</math>: <math>(x_1,x_2)\in U\Rightarrow (cx_2,0)\in U</math>, wobei <math>c\in\mathbb{C}</math> fest sei.



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-04-21


Jeder nicht trivialer Unterraum von <math>{\Bbb C}^2</math> hat die Form <math>{\Bbb C}v</math> mit irgendeinem Vektor <math>v\ne0</math>. Die Bedingung <math>Mv\in{\Bbb C}v</math> führt auf ein Gleichungssystem für die Komponenten von <math>v</math>, dessen Lösungen leicht anzugeben sind.



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Frettchen51
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


Dann sieht man dass <math>v</math> von der Form <math>(v_1,0)</math> sein muss und dann ist man fertig, denn <math>\mathbb{C}(v_1,0)=\mathbb{C}e_1</math>.

Aber wie folgt nun, dass unsere darstellung nicht isomorph zu einer direkten Summe <math>V\oplus W</math> von Darstellungen mit <math>V,W\neq 0</math> sein kann?




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dromedar
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Nehmen wir an, die Darstellung <math>\pi</math> wäre isomorph zu einer direkten Summe <math>\pi_V\oplus\pi_W</math> von zwei Darstellungen mit den Darstellungsräumen <math>V</math> und <math>W</math>. Dann gäbe es einen Isomorphismus <math>\phi\colon V\oplus W\to{\Bbb C}^2</math> mit <math>\pi\,\phi=\phi\,\bigl(\pi_V\oplus\pi_W\bigr)</math>.

Mit diesem Isomorphismus kann man die beiden Unterräume <math>\widetilde V=\phi\,\bigl(V\oplus\{0\}\bigr)</math> und <math>\widetilde W=\phi\,\bigl(\{0\}\oplus W\bigr)</math> definieren. Diese Unterräume wären <math>\pi</math>-invariant und es wäre <math>{\Bbb C}^2=\widetilde V\oplus\widetilde W</math>. Das kann aber nach dem, was Du in Beitrag No. 10 gezeigt hast, nicht sein.



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