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Analysis » Komplexe Zahlen » Beweis gleichseitiges Dreieck
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Autor
Universität/Hochschule Beweis gleichseitiges Dreieck
Mathestudi7
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.07.2016
Mitteilungen: 14
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-04-21 10:22


Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe, die mich schon seit Stunden rätseln lässt:



Habe mir das einmal aufgezeichnet und ich gehe davon aus, dass es etwas mit den Höhen der Dreiecke zu tun hat, aber vielleicht hat jemand noch eine Idee bzw. kann mir mit einem Ansatz helfen.

Vielen Dank schon mal! :)



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 3161
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-21 10:31


Hallo Mathestudi7,

was ist hier der "Mittelpunkt" eines Dreiecks?

PS: Mit Funktionentheorie hat diese Aufgabe nichts zu tun.



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Mathestudi7
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.07.2016
Mitteilungen: 14
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21 11:12


Hallo StrgAltEntf,

danke für die schnelle Antwort..
Hab mir schon gedacht, dass das nicht unbedingt was damit zu tun hat, ist nur auf meinem Funktionentheorieblatt eine Aufgabe, deswegen hatte ich es dazu geschrieben..

Also ich würde sagen, dass der Mittelpunkt in dem Fall die halbe Höhe der äußeren Dreiecke ist und natürlich auch der Punkt in dem sich alle Höhen treffen.



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Kezer
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 103
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-04-21 11:22


Hallo,

das ist der Satz von Napoleon. Mit Mittelpunkt wird also Schwerpunkt genannt sein. Wahrscheinlich wurde der Begriff Mittelpunkt gewählt, weil im gleichseitigen Dreieck sich Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt ohnehin entsprechen, aber der Begriff Mittelpunkt ist wohl wahrscheinlich trotzdem eher schwammig gewählt.

Eines der einfacheren Beweise (meines Erachten nach) verfolgt den Ansatz, erstmal die Umkreise der äußeren gleichseitigen Dreiecke einzuzeichnen und sich diese schneiden zu lassen. Danach muss man noch bisschen was tun, aber das wäre der Anfang wink

Es ist auch recht straightforward, die Aufgabe mit komplexen Zahlen durchzurechnen, aber wir sollten es lieber elementargeometrisch angehen.  smile




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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 1600
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-04-21 11:27


Hallo,

das hat nicht direkt etwas mit Funktionentheorie zutun, aber dennoch laesst sich die Aufgabe mit komplexer Analysis loesen und so wird oft mit Funktionentheorie begonnen.
Zwei gleichseitige Dreiecke sind naemlich immer zueinander aehnlich.
Wir koennen uns die Punkte A, B und C als komplexe Zahlen in der gaussschen Zahlenebene vorstellen. Dann kann man damit alle weiteren Punkte ausrechnen.

Mit dem Mittelpunkt eines gleichseitigen Dreiecks ist der Umkreismittelpunkt, der Hoehenschnittpunkt, der Schwerpunkt oder Inkreismittelpunkt gemeint. Die fallen bei einem gleichseitigen Dreieck aber alle zusammen. Wenn die Koordinanten von A, B, C' bekannt sind, dann ist es <math>\frac 1 3 (A+B+C')</math>. (C' wird aber gar nicht gebraucht bzw. kann man den, wie oben schon geschrieben, ausrechnen.)

Liebe Gruesse

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Komplexe Zahlen' von ochen]



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 3161
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-04-21 11:49


2017-04-21 11:22 - Kezer in Beitrag No. 3 schreibt:
Es ist auch recht straightforward, die Aufgabe mit komplexen Zahlen durchzurechnen,

Ja stimmt, das war etwas voreilig von mir.

Und was der Mittelpunkt ist, ist bei gleichseitigen Dreiecken natürlich auch klar smile



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 25663
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-04-21 15:16


Titel geändert: „Funktionentheorie - Beweis gleichseitiges Dreieck“ → „Beweis gleichseitiges Dreieck“

Den Fehler in der Aufgabenstellung „errichtet“ kann ich nicht korrigieren biggrin


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
dietmar0609
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.06.2007
Mitteilungen: 2252
Aus: Oldenburg , Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-04-21 15:48


mich würde schon der funktionentheoretische Ansatz interessieren. Die geometrischen Beweise findet man ja im Internet.



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