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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Positive Definitheit kommutierender Matrizen
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Autor
Universität/Hochschule Positive Definitheit kommutierender Matrizen
punfu
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.02.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-04-21 13:18


Hi
Ich sitze seit geraumer Zeit vor folgendem Problem:
Gegeben: zwei symmetrische nxn Matritzen die beide positiv definit sind und kommutieren. Daraus soll ich folgern, dass das Produkt auch positiv definit ist.

Ich konnte kaum etwas herausfinden, nur dass das Produkt auch wieder symmetrisch ist. Zudem vermute ich, dass ich die Hauptachsentransformation verwenden soll.

Hat jemand vielleicht einen Tipp für mich?

mfg
punfu



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Dune
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.03.2009
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Aus: Rostock
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-21 13:28


Hauptachsentransformation, bzw. allgemein Diagonalisierung, ist ein gutes Stichwort. Eine symmetriesche relle Matrix ist genau dann positiv definit, wenn ihre Eigenwerte alle positiv sind. Überlege dir die Eigenwerte des Matrixprodukts, indem du diese Matrix auf geeignete Weise diagonalisierst.



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punfu
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Mitteilungen: 8
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21 14:00


Vielen Dank erstmal für deine Antwort!
Das mit den Eigenwerten weiss ich, aber ich sehe nicht, wie ich das zielführend einsetze.
Also ich weiss, dass eine orthogonale Matritx Q existiert, so dass<math>Q^tABQ = Q^tBAQ = D</math> eine Diagonalmatrix ist mit den Eigenwerten auf der Diagonalen und ich möchte ja zeigen, dass <math>D_j_j>0</math> für alle j.
Das selbe weiss ich analog auch für A und B einzeln wobei ich da ja weiss, dass die EW positiv sind aber ich sehe immernoch nicht was ich tun kann... confused  



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Dune
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Mitteilungen: 2874
Aus: Rostock
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-04-21 14:04


Es gilt <math>Q^{-1}(AB)Q = (Q^{-1}AQ)(Q^{-1}BQ)</math>. Kannst du ein <math>Q</math> finden, sodass dir diese Gleichung etwas nützt? Du hast bisher noch nicht benutzt, dass <math>A</math> und <math>B</math> kommutieren...



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punfu
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Dabei seit: 19.02.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21 15:27


Ich stehe wohl wirklich auf dem Schlauch  confused
Wenn sie kommutieren kriege ich natürlich auch
<math>Q^tABQ=(Q^tBQ)(Q^tAQ)=(Q^tAQ)(Q^tBQ)</math>
und schlaue Q's fallen mir nicht ein, die einzigen Kandidaten die mir einfallen sind so, dass <math>Q^tAQ, Q^tBQ oder Q^tABQ = D</math>
aber ich sehe nicht, was ich damit machen kann.



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dromedar
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Dabei seit: 26.10.2013
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Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-04-21 16:07


Ein alternativer Ansatz ist, die Diagonalisierbarkeit von <math>A</math> zu benutzen, um die Quadratwurzel <math>\sqrt A</math> mit folgenden Eigenschaften zu konstruieren:

    (1) <math>\sqrt A\,\sqrt A=A</math>
    (2) <math>\sqrt A</math> ist positiv definit
    (3) <math>\sqrt A</math> vertauscht mit allen Matrizen, die mit <math>A</math> vertauschen

Damit ist

    <math>AB=\sqrt A\,B\,\sqrt A</math>

und das Produkt auf der rechten Seite ist wegen

    <math>\displaystyle
\left<x\middle|\sqrt A\,B\,\sqrt A\,x\right>=
\left<\bigl(\sqrt A\,x\bigr)\middle|
B\,\bigl(\sqrt A\,x\bigr)\right></math>

offensichtlich positiv definit.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Dune
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Aus: Rostock
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-04-22 17:42


Sagt dir simultanes Diagonalisieren etwas?



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