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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Differenzierbarkeitsbeweis mit Mittelwertsatz
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Autor
Universität/Hochschule J Differenzierbarkeitsbeweis mit Mittelwertsatz
alphi
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.10.2016
Mitteilungen: 15
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-04-21 13:47


Hallo,

ich stehe hier gerade vor einer Aufgabe, bei der ich formal nicht ganz weiterkomme.

Und zwar habe ich folgendes gegeben:
Den Intervall <math>(a, b)</math>, die Funktion <math>f : (a, b) \to \mathbb{R}</math>, die im gesamten Definitionsbereich stetig und nur in <math>x \in (a, b)</math> nicht differenzierbar ist.
Außerdem ist bekannt, dass <math>\lim_{y\to x} f'(y) = z</math> ist.

Jetzt möchte ich beweisen, dass die Funktion auch in <math>x</math> differenzierbar ist, und zwar mit <math>f'(x) = z</math>.

Ein Tipp war, den Mittelwertsatz zu verwenden. Mit diesem Ansatz würde ich wie folgt vorgehen: Wähle <math>c,d \in (a,b)</math> mit <math>a < c < x < d < b</math>.
Dann weiß ich nach dem MWS unter gegebenen Voraussetzungen (siehe Anmerkung und mein Problem weiter unten), dass es ein <math>p \in (c, d)</math> existiert mit <math>f'(q) = \frac{f(c) - f(d)}{c - d}</math>.

Dann bilde <math>\lim_{c \to a} \lim_{d \to a} </math>.
Dann ist ja im Limes <math>q = x</math>(?) und somit die Differenzierbarkeit bewiesen?

Die Schlussfolgerung ist vermutlich nicht formal korrekt, aber mein Problem liegt bereits weiter oben; Eine Voraussetzung des MWS ist ja, dass die Funktion im offenen Intervall, hier <math>(a, b)</math> differenzierbar ist. Da ich das aber zu beweisen versuche für den Punkt <math>x</math>, der ja in diesem Intervall liegt, ist der Beweis irgendwie problematisch.

Kann mir hier jemand vielleicht den richtigen Anstoß geben?
Vielen Dank für Eure Antworten und Bemühungen, wenn Ihr Euch bis hier unten durchgekämpft habt :)

~αφ



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darkhelmet
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 1934
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-21 15:40


2017-04-21 13:47 - alphi im Themenstart schreibt:
Die Schlussfolgerung ist vermutlich nicht formal korrekt, aber mein Problem liegt bereits weiter oben; Eine Voraussetzung des MWS ist ja, dass die Funktion im offenen Intervall, hier <math>(a, b)</math> differenzierbar ist. Da ich das aber zu beweisen versuche für den Punkt <math>x</math>, der ja in diesem Intervall liegt, ist der Beweis irgendwie problematisch.

Diesen Satz gibt es auch in der Variante, dass man die einseitige Differenzierbarkeit am Rand eines Intervalls aus der Existenz des einseitigen Grenzwerts der Ableitung folgert. Also kannst du links von <math>x</math> und rechts von <math>x</math> getrennt behandeln.

Außerdem könnte es sein (ich weiß es grad nicht), dass man für den Beweis nicht den vollen Mittelwertsatz braucht, sondern nur die Mittelwertungleichung, z.B.
<math>\displaystyle \inf_{t\in(a,b)}f'(t)\leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq \sup_{t\in(a,b)}f'(t),</math>
also ohne die Existenzaussage. Diese erlaubt (mindestens), dass <math>f</math> an abzählbar vielen Stellen nicht differenzierbar ist, also
<math>\displaystyle \inf_{t\in(a,b)\backslash D}f'(t)\leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq \sup_{t\in(a,b)\backslash D}f'(t),</math>
wobei <math>D</math> die Menge der Nichtdifferenzierbakeitsstellen ist.

Oft braucht man an Stelle des Mittelwertsatzes eigentlich nur die Mittelwertungleichung, insbesondere wenn es nur um eine Abschätzung geht. Wenn das hier so ist, kann es aber immer noch sein, dass der Beweis von seiner Natur her einseitig ist.


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Differentialrechnung in IR' von darkhelmet]



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Kampfpudel
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Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 866
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-04-21 15:48


Hey,

wende einfach für <math>a<c<x<d<b</math> den Mittelwertsatz auf die Intervalle <math>(c,x)</math> und <math>(x,d)</math> an und betrachte einmal <math>\lim\limits_{c \to x^-}</math> und <math>\lim\limits_{d \to x^+}</math>



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alphi
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Dabei seit: 29.10.2016
Mitteilungen: 15
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-22 20:57


Vielen Dank für Eure Antworten!

2017-04-21 15:48 - Kampfpudel in Beitrag No. 2 schreibt:
Hey,

wende einfach für <math>a<c<x<d<b</math> den Mittelwertsatz auf die Intervalle <math>(c,x)</math> und <math>(x,d)</math> an und betrachte einmal <math>\lim\limits_{c \to x^-}</math> und <math>\lim\limits_{d \to x^+}</math>

Diese Idee hatte ich auch, aber verworfen;

Denn reicht das, um eine Aussage zu treffen?
Ich weiß ja nicht, dass f stetig differenzierbar ist.
Kann es nicht immernoch sein, dass <math>f'(a) \neq \lim_{x \to a} f'(x) = z</math> ist?
Denn ich treffe da ja immer nur Aussagen über ein <math>x \in (a,b) \setminus \{a\}</math>?

Die Ableitung selbst ist ja auch ein Grenzwert, aber warum reicht es hier, nur Aussagen über die Ableitung an Punkten „neben“ <math>x</math> zu treffen?
Könntet ihr das bitte kurz erläutern?

Klar treffe ich mit der Ableitung an der Stelle <math>x</math> ja eine Aussage über das Verhalten des Graphen von <math>f</math> in der Nähe von <math>x</math>. Doch ist ja der Unterschied, dass der Mittelwertsatz ja nur sagt, dass in diesem Fall in <math>(a,x)</math> dieses <math>c</math> mit <math>f'(c) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}</math> existiert. (und analog <math>d</math> in <math>(x, b)</math>).

Oder ist der „Clou“ hier, dass ich weiß, dass beide Grenzwerte, rechts und links ja gleich sind, und ich die Limiten <math>\lim_{c \to x_-}</math> sowie <math>\lim_{c \to x_+}</math> bilde und nach dem MWS weiß, dass für diese die Ableitung nach dessen Aussage existiert und das äquivalent zu der tatsächlichen Ableitung ist? Wo ich stattdessen <math>x</math> fest wählen würde?

Oder habe ich gerade ein Brett vor dem Kopf?


-----------------
~αφ



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 866
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-04-23 12:05


Mir ist gerade eine Ungereimtheit in der Aufgabenstellung aufgefallen.
Statt "<math>\lim\limits_{x \to a} f'(x)=z</math>" sollte es wohl "<math>\lim\limits_{y \to x} f'(y)=z</math>" heißen!? Denn nur so macht die Aufgabe dann Sinn, man will ja die Differenzierbarkeit in <math>x</math> beweisen und die Ableitung an der Stelle <math>x</math> mit <math>z</math> identifizieren. Dann macht es ja keinen Sinn, mit <math>x</math> gegen <math>a</math> zu gehen.

Nun, vermutlich ist es das berühmte Brett. Mach dir klar, was zu zeigen ist, nämlich dass
<math>\lim\limits_{y \to x} \frac{f(y)-f(x)}{y-x}</math> in <math>\mathbb{R}</math> existiert und gleich <math>z</math> ist. Dazu genügt es zu zeigen, dass die Limites von jeweils oben und unten existieren und gleich <math>z</math> sind. Und genau das erhältst du, wenn du den Mittelwertsatz auf jeweils die Intervalle <math>(c,x)</math> und <math>(x,d)</math> anwendest und die Voraussetzung <math>\lim\limits_{y \to x} f'(y)=z</math> benutzt. Was passiert denn mit den Zwischenstellen aus dem Mittelwertsatz, wenn <math>c \to x^-</math> bzw. <math>d \to x^+</math>?



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alphi
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-23 13:06


Vielen Dank,
das ist der Ansatz, den ich in meinem vorletzen Absatz ansprach!
So stimmt das auch wieder mit meiner Intuition überein.

Mit der Ungereimtheit hast Du natürlich recht, ich hätte nicht <math>x</math> als Variable im Limes verwenden sollen :)

Vielen Dank Euch beiden.


-----------------
~αφ



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