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Mathematik » Zahlentheorie » Vermutung zur Primzahldichte
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Kein bestimmter Bereich J Vermutung zur Primzahldichte
blindmessenger
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2016
Mitteilungen: 677
Aus: NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-04-21


Hallo,

ich habe eine Vermutung und würde sie gerne mit euch diskutieren.

Ich habe die Vermutung, dass bei folgender Folge

<math>K(m,n)=\frac{m^{2n+1}+1}{m+1}; m,n \in \mathbb{N}; m,n \neq 0;
m \neq 1</math>

die Primzahldichte konstant bleibt oder nur sehr langsam abnimmt.

Ich habe die Folge bis <math>K=4002001</math> überprüft und komme auf eine Dichte von 17,92%. Vielleicht gibt es einen interessanten Grenzwert dazu...

Ferner tauchen bei dieser Folge die Primzahlen scheinbar in Blöcken oder besser gesagt in Wellen auf...


-----------------
Gruß blindmessenger



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np_complete
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.03.2015
Mitteilungen: 76
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-21


Das ist keine Folge. Eine Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in eine andere Menge. Was du da hast ist eine Abbildung <math>\mathbb{N}^2\longrightarrow \mathbb{N}</math>. Man kann sich aber die Mengen <math>M_k</math> aller Zahlen definieren, die kleiner oder gleich k sind, und sich schreiben lassen als <math>\frac{m^{2n+1}+1}{m+1}</math> mit <math>m,n \in \mathbb{N}</math>. Bevor man aber weiß, ob es überhaupt unendlich viele Primzahlen dieser Form gibt, ist es unsinnig sich fragen wie dicht die Primzahlen in diesen Mengen liegen.

Gruß
np_complete



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blindmessenger
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2016
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Aus: NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


Na ja, ob es unendlich viele Primzahlen dieser Form gibt könnte man ja erst mal aussen vor lassen...

Empirisch untersuchen kann man es ja trotzdem...






-----------------
Gruß blindmessenger



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26063
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-04-21


blindmessenger schreibt:
Empirisch untersuchen kann man es ja trotzdem...
Wenn „man“=„blindmessenger“ dann ja.


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Bild



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blindmessenger
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2016
Mitteilungen: 677
Aus: NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


2017-04-21 15:19 - viertel in Beitrag No. 3 schreibt:
blindmessenger schreibt:
Empirisch untersuchen kann man es ja trotzdem...
Wenn „man“=„blindmessenger“ dann ja.

Du irrst... Ich kann das ja gerade nicht!

Deswegen frage ich euch...  wink


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Gruß blindmessenger



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26063
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-04-21


Du irrst!
Natürlich kannst du das empirisch untersuchen, bis die CPU glüht. Es ist deine Zeit, die du darauf verwendest.
Aber erwartest du wirklich, daß jemand anderes seine Zeit dafür – verzeih den Ausdruck – verschwendet? Denn solches Stochern mit verbundenen Augen im Nebel führt in der Regel zu nichts — Ausnahmen bestätigen hin und wieder die Regel.



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Kitaktus
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Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5073
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-04-21


Mir ist nicht klar, was Du meinst.
Ich habe 65873 Zahlen kleiner als 2^32 gefunden, die dieser Form genügen.
(65536 für n=1, weitere 255 neue(!) für n=2, 38 für n=3, 15 für n=4, 8 für n=5, 5 für n=6, je 3 für n=7 und n=8, je 2 für n=9,10 und je 1 für n=11..16).

Von diesen 65873 Zahlen sind 7429 prim. Das sind 11.3%

Wenn ich mir die Abhängigkeit der Primzahldichte von der Größe der oberen Grenze anschaue, deutet auch erst mal nichts auf einen Grenzwert größer 0 hin.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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blindmessenger
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2016
Mitteilungen: 677
Aus: NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


O.K.... Dann ist meine Vermutung wohl widerlegt...

Es hätte ja sein können, dass sich die Primzahledichte einem Grenzwert ungleich null annähert...


-----------------
Gruß blindmessenger



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Slash
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Dabei seit: 23.03.2005
Mitteilungen: 5852
Aus: New York
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-04-21


Schau mal hier blindm:

OEIS A155557

Ich denke "Primzahlerzeugende Polynome" wären genau das richtige für dich als Untersuchungs- bzw. Forschungsprojekt. Das ist ganz einfach zu programmieren. Da brauchst du keine Hilfe. Und wenn du hier etwas besseres findest, dann darfst du dich sogar in der OEIS verewigen. Mehr als 634 Primzahlen unter den ersten 1000 erzeugten Zahlen reichen "schon".
PARI/GP
{
 i=0;
 for(n=0, 1000,
   a=2*n^2 - 2*n + 53089;
   if(isprime(a), i++);
 );
 print("Es wurden "i" Primzahlen gefunden.");
}

Anspruchsvoller wird es schon, wenn die Primzahlen in direkter Folge erzeugt werden sollen, wie z. B. bei Eulers Polynom n^2+n+41.

Solche Polynome werden sogar in Fachbüchern veröffentlicht, wie z.B. denen von Zahlentheoretiker- und Primzahl-Papst Ribenboim.

Ich konnte das Polynom aus A155557 schon in größeren Bereich, also mehr als 1000 Termen, schlagen. Das ist aber jetzt nichts sooo besonderes. Und viel verändern musste ich dafür nicht. Nur viel probieren und rechnen lassen.

Gruß, Slash


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Drei kleine Regeln, die dich sicher durchs Leben bringen. 1. Vertritt mich mal eben! 2. Oh, gute Idee, Chef! 3. Das war bestimmt jemand anders! (Homer Simpson)



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blindmessenger
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Aus: NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


@Slash

Ja, alles klar... Danke für den Tipp...


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Gruß blindmessenger



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blindmessenger
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


Na ja... Durch Kitaktus Berechnungen können wir jetzt wohl immerhin abschätzen, wie hoch die Anzahl der Elemente <math>i</math> der "Folge" an einer bestimmten Anzahl <math>k</math> der natürlichen Zahlen liegt. Es gilt wohl:

<math>i(k)\approx 2^{\frac{log_2(k)}{2}}</math>





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Gruß blindmessenger



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-04-21


Ja, wobei <math>2^{\frac{log_2(k)}{2}} = \sqrt{k}</math> gilt.



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blindmessenger
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


2017-04-21 17:35 - Kitaktus in Beitrag No. 11 schreibt:
Ja, wobei <math>2^{\frac{log_2(k)}{2}} = \sqrt{k}</math> gilt.

Ja, das sieht natürlich besser aus... ;-)

Könntest Du uns eine Funktion Primzahlanteile in Abhängigkeit zur Anzahl der Elemente der Folge zeigen?

Dann könnte man mal sehen wo die Reise hingeht...


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Gruß blindmessenger



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-23


Wie cyrix schon in einem anderen Thread gut erkannt hat, ist eine notwendige Bedingung für Primzahlen dieser Form, dass

<math>2n+1=p</math>

Die sogenannten "Wagstaff primes", also Zahlen der Form

<math>K(m=2,n)=\frac{2^{2n+1}+1}{2+1}=p</math>

sind Teil dieser Menge...

Aber z.B. für p=29 also

<math>K(m=2,n=14)=\frac{2^{2*14+1}+1}{2+1} \neq p</math>

ist es schon keine Primzahl mehr...

Trotzdem gibt es wohl aber Primzahlen mit p=29 allerdings für ein m größer als 2.

Z.B. für p=29 und m=7 also

<math>K(m=7,n=14)=\frac{7^{2*14+1}+1}{7+1}=p</math>

Man könnte also vermuten, dass es immer mindestens eine Primzahl gibt für Zahlen der Form

<math>K(m,n)=\frac{m^{2n+1}+1}{m+1}</math>

wenn gilt

<math>2n+1=p</math>





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Gruß blindmessenger



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-04-24


Hier ein Diagramm der Primzahldichte. Auf der logarithmischen x-Achse ist aufgetragen, bis zu welchem Maximalwert nach Zahlen der entsprechenden Form gesucht worden. Auf der y-Achse ist die relative Häufigkeit von Primzahlen aufgetragen.



Die Primzahldichte ist tatsächlich höher als bei der Betrachtung aller Zahlen im gleichen Intervall. Das ist aber auch nicht verwunderlich, da es unter diesen Zahlen keine gibt, die durch 2 teilbar sind und nur sehr wenige, die durch 5 teilbar sind.



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-25


Und hier nochmal eine Tabelle mit der Verteilung der Primzahlen (rot) für die Funktion:

<math>K(m,n)=\frac{m^{2n+1}+1}{m+1}</math>

Die Werte für <math>n</math> liegen auf der horizontalen Achse und die Werte für <math>m</math> auf der vertikalen Achse.




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Gruß blindmessenger



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-27


Ich habe mir mal die Primzahlendichten von Zahlen der Form

<math>an+b</math>

angesehen.

Hier ist mir aufgefallen, dass wenn gilt

<math>a=4k+2</math>

ein Primzahldichte-Maximum auftritt...

Und zwar gibt es einen klaren funktionalen Zusammenhang der wie folgt aussieht:

Wir unterteilen zuerst a in bestimmte logische Folgen wie folgt:

<math>S_{a1}={1,2,4,8,16,...}</math>

<math>S_{a2}={3,6,12,24,48,...}</math>

<math>S_{a3}={5,10,20,40,80,...}</math>

<math>...</math>

Jede ungerade Zahl bildet also den Anfang jeder Folge für <math>a</math>.

Und innerhalb dieser Folge für <math>a</math> gibt es einen funktionalen Zusammenhang zur Primzahldichte der bei allen Folgen gleich ist. Ein Maximum beim zweiten Element der Folge und dann ein asymptotisches Abfallen.

Beispiele (die ersten 10.000 n wurden auf Primzahlen überprüft):

<math>
\begin{tabular}{|c|c|}
Restklasse&Primzahlanzahl\\
\hline\\
1n+1&1229\\
\color{red}{2n+1}&\color{red}{2261}\\
4n+1&2085\\
8n+1&1935\\
16n+1&1823\\
32n+1&1724\\
\end{tabular}
</math>

<math>
\begin{tabular}{|c|c|}
Restklasse&Primzahlanzahl\\
\hline\\
3n+1&1610\\
\color{red}{6n+1}&\color{red}{3014}\\
12n+1&2793\\
24n+1&2611\\
48n+1&2482\\
96n+1&2341\\
\end{tabular}
</math>

<math>
\begin{tabular}{|c|c|}
Restklasse&Primzahlanzahl\\
\hline\\
5n+1&1274\\
\color{red}{10n+1}&\color{red}{2387}\\
20n+1&2233\\
40n+1&2090\\
80n+1&1993\\
160n+1&1881\\
\end{tabular}
</math>

Dieser Zusammenhang zwischen den Restklassen und der Primzahldichte scheint wohl unabhängig von b zu sein.

Das interessante dabei: Man könnte erwarten, dass die höchste Primzahldichte immer bei der ersten Restklasse auftritt und nicht erst bei der zweiten.

Warum?

Weil der Satz zur Primzahldichte aller Zahlen ja auch besagt, dass je größer das Intervall ist die Dichte niedriger wird...






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Gruß blindmessenger



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Primentus
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.02.2016
Mitteilungen: 523
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2017-04-27


2017-04-27 17:09 - blindmessenger in Beitrag No. 16 schreibt:
Das interessante dabei: Man könnte erwarten, dass die höchste Primzahldichte immer bei der ersten Restklasse auftritt und nicht erst bei der zweiten.

Hallo blindmessenger,

Deine jeweiligen ersten Ausdrücke (<math>1n+1</math> bzw. <math>3n+1</math> bzw. <math>5n+1</math>) erzeugen zur Hälfte gerade Zahlen, nämlich immer wenn n ungerade ist. Es ist natürlich klar, dass bei 5000 geraden und 5000 ungeraden Zahlen der Art, wie sie von Dir erzeugt werden, viel weniger Primzahlen auftreten als wenn alle 10000 Zahlen ungerade wären, so wie das bei Deinen jeweiligen zweiten, dritten, vierten, usw. Ausdrücken der Fall ist.

Daher gibt es beim zweiten Ausdruck viel mehr Primzahlen als beim ersten. Und dass sie ab dem dritten Ausdruck wieder sinken, liegt hauptsächlich an der natürlichen Primzahldichte, die eben abnimmt, je größer die Zahlen werden.

Also ist da nichts Besonderes in Deiner Beobachtung.

LG Primentus



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blindmessenger
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2016
Mitteilungen: 677
Aus: NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-27


Hallo Primentus,

ja, das hätte mir natürlich auch mal wieder auffallen können... Danke für die Aufklärung...

Mit Primzahlen ist aber auch nicht zu spaßen... ;-)

Man sollte sich vielleicht mal mit Problemen beschäftigen, wo sich noch nicht so viel Leute den Kopf zerbrochen haben... ;-)




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Gruß blindmessenger



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