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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Kurve (Differenzierbarkeit / Winkel)
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Universität/Hochschule J Kurve (Differenzierbarkeit / Winkel)
jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-04-21


Hallo zusammen.
Ich habe bei folgender Aufgabe ein paar Probleme:



zu a)
f(1) ist ja einfach der Vektor (1,0,0). Aber die Gerade durch den Ursprung und f(1) ist ja auch (1,0,0). Ich weiß jetzt nicht so wirklich, welcher Winkel da gemeint ist. Der Punkt liegt ja auf der Geraden^^

zu b)
Ich muss ja hier erstmal die Differenzierbarkeit zeigen. Bei einer anderen Aufgabe dieses Blattes konnte ich das einfach über die Verknüpfung der Diffb. Funktionen sin und cos machen, aber ich denke hier muss ich ja den formellen weg gehen.
Leider weiß ich hier nicht so wirklich wie ich vorgehen muss.
 



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np_complete
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-21


2017-04-21 17:57 - jonasvc19 im Themenstart schreibt:
zu b)
Ich muss ja hier erstmal die Differenzierbarkeit zeigen. Bei einer anderen Aufgabe dieses Blattes konnte ich das einfach über die Verknüpfung der Diffb. Funktionen sin und cos machen, aber ich denke hier muss ich ja den formellen weg gehen.
Leider weiß ich hier nicht so wirklich wie ich vorgehen muss.
 
Eine Abbildung von einer offenen Teilmenge von <math>\mathbb{R}^n</math> in einen Banachraum K ist genau dann stetig differenzierbar, falls sie partiell stetig differenzierbar ist.

Hier ist natürlich n=1 und <math>K =\mathbb{R}^3</math>. Und da deine Komponentenfunktionenen (partiell) stetig differenzierbar sind, bekommst du Differenzierbarkeit hier mit allgemeiner Theorie gezeigt.

Gruß
np_complete



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-04-21


Hallo
 gesucht ist der Winkel zwischen der Tangente und der Geraden,bzw deren Richtungsvektor den du   du richtig hast, also nur noch die Tangente in t=1 ausrechnen. f(1) ist ein Punkt im R^3
glatt ist die Kurve, weil alle Komponenten stetig nach t differenzierbar sind und f'(t) stetig
Kurvenlänge einfach das Integral berechnen.
Gruß lula




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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


@lula: Danke. Das mit der Tangente sollte ich hinbekommen und werde es nachher mal versuchen. Finde das aber in der Aufgabe etwas blöd ausgedrückt :)

@np_complete: Leider hatten wir die Begriffe "Banachraum" und "partiell stetig diffb" noch nicht. Auch nicht in Analysis I. Ich bräuchte da also eine andere herangehensweise.
In meinem Skript steht nur:
"Eine  Funktion heißt  stetig  differenzierbar,  wenn  die  Ableitungen
stetig sind."



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-04-21


Hallo
man spricht immer vom Winkel zwischen Kurven und Geraden,
 die Kurve ist glatt , wenn alle Komponenten stetig und stetig differenzierbar sind, das hat doch weder mit Banach  noch mit partiell d. wa zu tun, die Komponenten sind gewöhnliche eindimensionale Funktionen von t
aber eigentlich muss in deinem Skript stehen, was eine glatte Kurve ist.
bis dann lula


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np_complete
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-04-22


Zitat Amann/Escher - Analysis 2, Auflage 2, Satz 2.10, Seite 161:

"Es seien X offen in <math>\mathbb{R}^n</math> und F ein Banachraum. Dann ist <math>f:X\longrightarrow F</math> genau dann stetig differenzierbar, wenn f stetig partiell differenzierbar ist."

Und natürlich ist die "normale" Ableitung auch eine partielle Ableitung, bei der es allerdings nur null weitere Unbekannte gibt, die man als Konstanten auffasst.

Und da <math>\mathbb{R}^m</math> für jedes natürliche m - also insbesondere auch für <math>m=3</math> - ein Banachraum ist, passt der Satz genau zu der Aufgabenstellung.

Man kann die stetige Differenzierbarkeit der Funktion mit dem Satz auf die stetige Differenzierbarkeit der Komponentenfunktionen zurückführen.

Und stetige Differenzierbarkeit ist ja ein Kriterium für die Glattheit einer Kurve. Nun fehlt für die Glattheit nur noch dass die Ableitung nirgendwo 0 ist.

Gruß
np_complete




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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-22


ok, also nochmal zur Tangente. In meinem Skript steht:
"Der Vektor f'(t) heißt der Tangentialvektor zur Kurve f an Parameterstelle
t."
Ich muss also nur die Ableitung bilden und habe die Tangente?

Zur Diifb.:
Also ich weiß jetzt noch immer nicht wie ich das machen soll. Das was np_complete alles geschrieben har, darf ich leider nicht verwenden, weil wir es noch nicht hatten :(

Im Prinzip ist das hier alles was ich nutzen darf:
hier



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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-04-22


2017-04-22 13:16 - jonasvc19 in Beitrag No. 6 schreibt:
ok, also nochmal zur Tangente. In meinem Skript steht:
"Der Vektor f'(t) heißt der Tangentialvektor zur Kurve f an Parameterstelle
t."
Ich muss also nur die Ableitung bilden und habe die Tangente?

Fast, du hast dann den Richtungsvektor für die Tangente. Du muss für die Tangente, die ja eine Gerade ist, noch die Gleichung aufstellen.


Zur Diifb.:
Also ich weiß jetzt noch immer nicht wie ich das machen soll. Das was np_complete alles geschrieben har, darf ich leider nicht verwenden, weil wir es noch nicht hatten :(

Du sollst hier die Glattheit der Kurve zeigen. Das geht so wie in deinen vorigen Beispielen auch, nämlich die komponentenweisen Ableitungen bilden und zeigen, dass der Ableitungsvektor nie der Nullvektor werden kann. Da deine Komponenten differenzierbare Funktionen sind, ist die Funktion selbst ebenfalls differenzierbar.



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Die Beherrschung der Arithmetik, Herr Kollege, ist keine Frage der Überheblichkeit, hätte ich gedacht.

(A.v.d.B.)



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-22


ok. zum winkel:

Wenn ich den richtungsvektor der tangante habe und den richtungsvektor der gerade vom ursprung zu f(1) dann kann ich doch den winkel zwischen diesen beiden vektoren berechnen und brauche keine geradengleichung mehr, oder?

zur diffb:
Du sagtst: "Da deine Komponenten differenzierbare Funktionen sind"
Das muss ich doch irgendwie beweisen?.



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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-04-22


Ja, der Winkel zwischen zwei Geraden entspricht dem Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren der Geraden.

Die ersten beiden Komponenten sind Polynome und die sind diff.bar. Das wirst du sicher verwenden dürfen. Ebenso sollte die Differenzierbarkeit der Wurzelfunktion bekannt sein, damit lässt sich auch die dritte Komponenten argumentieren. Dort kommt die Verknüpfung aus Polynom- und Wurzelfunktion vor.


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np_complete
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-04-22


2017-04-22 14:41 - freeclimb in Beitrag No. 7 schreibt:

Du sollst hier die Glattheit der Kurve zeigen. Das geht so wie in deinen vorigen Beispielen auch, nämlich die komponentenweisen Ableitungen bilden und zeigen, dass der Ableitungsvektor nie der Nullvektor werden kann. Da deine Komponenten differenzierbare Funktionen sind, ist die Funktion selbst ebenfalls differenzierbar.


Für die Glattheit einer Kurve reicht es doch nicht zu zeigen, dass die Kurve differenzierbar ist und die Ableitung nirgendwo verschwindet. Die Kurve muss sogar stetig differenzierbar sein und die Ableitung darf nirgendwo verschwinden.



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-22


stimmt. sie müssen stetig differenzierbar sein. Aber wie zeige ich denn da nun wider?



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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-04-22


Ja, das stimmt natürlich und wenn die Ableitung vom Fragesteller gebildet wurde, so wird er (mit analoger Argumentation) auch sehen, dass die Ableitung auch stetig ist. Abgeleitet muss die Funktion jetzt trotzdem einmal werden.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-22


also die ableitung wäre ja:
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Wie argumentiere ich denn hier mit der Stetigkeit?



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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-04-22


Sind die einzelnen Komponentenfunktionen stetig?


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-22


Bei den ersten beidem Komponenten ist ja klar das sie stetig sind, aber wie zeige ich das bei der 3. Komponente?



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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2017-04-22


Die Wurzelfunktion ist natürlich auch stetig, dass muss du an dieser Stelle verwenden dürfen, denn wir haben vorher verwendet, dass die Wuzelfunktion sogar diff.bar ist. Insbesondere ist sie damit auch stetig.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-22


die Frage ist einfach ob man das verwenden darf^^
Was würde man denn machen, falls nicht?



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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-04-22


Dann müsstest du die Argumentation bei der Differenzierbarkeit schon ändern, das scheint aber nicht die Idee der Aufgabe zu sein.
Die Stetigkeit der Wurzelfunktion nachzurechnen wäre z.B. mit dem dem <math>\varepsilon-\delta</math>-Kriterium möglich.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-23


Aufgabe c) ist ja nun die Umparametrisierung der Kurve. In unserem Skript steht dazu:
Umparametrisierung auf Bogenlänge:
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Ich weiß nicht so ganz wie das gemeint ist und ich hatte noch das hier gefunden, aber das macht es auch nicht viel klarer: hier



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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2017-04-23


Der von dir gepostete Link erklärt es doch ganz gut, auch mit angefügtem Beispiel. Was konkret verstehst du dabei nicht? Kannst du die dort ausgeführte Rechnung auf dein Beispiel ummünzen?

Ich nehme mal an dass in deine Skriptum doch etwas mehr steht als die angegeben Formel. Ein Kurve ist dann nach der Bogenlänge parametrisiert, wenn der Tangentialvektor immer (d.h. für alle t) die Länge 1 hat.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-24


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Vorgegangen bin ich nach dieser Erklärung hier: hier



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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2017-04-24


<math>t(s)</math> darf nur von <math>s</math> abhängen, das hast du richtig erkannt. Somit hast du nicht richtig umgeformt bzw. war dein Vorgehen nicht zielführend. Beachte hier, dass <math>t\geq 0</math> gilt und bestimme dafür die Umkehrfunktion.


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(A.v.d.B.)



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-24


also ich hab jetzt einiges Probiert, aber ich habe keine Ahnung wie ich die Umkehrfunktion so bilden soll, dass am Ende kein t mehr in t(s) steht  frown



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-24


Im Prinzip weiß ich einfach nicht, was die Tatsache das t>=0 ist mit der Umformung zu tun haben soll



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freeclimb
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<math>s=0,5t^2+t \\
0=0,5t^2+t-s \\
0=t^2+2t-2s\\
t_{1,2}=-1\pm\sqrt{1+2s}</math>

Da <math>t</math> reell ist und <math>t\geq 0</math> gilt folgt...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]


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es folgt, dann, dass
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freeclimb
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Womit du deine Parametrisierung gefunden hast. ;)

Das Egebnis solltest du vielleicht zur Übung auch überprüfen.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-24


ja. werde ich machen.
das ich darauf nicht gekommen ärgert mich jetzt ein wenig  wink



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