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Mathematik » Analysis » minus-eins-hoch-x
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Universität/Hochschule J minus-eins-hoch-x
holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-04-21


Moin,
ich habe eine Frage (1.Semester) zu der Relation

<math> r : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} </math>

<math> x \in [0,1] \subset \mathbb{R} </math>

<math>r(x) = (-1)^x </math>

Irgendwie ist die zwar ganz einfach hinzuschreiben und jeder hat sie schon mal gesehen, aber wenn man genauer hinschaut ist das ein ziemliches Monstrum, jedenfalls erst mal keine Funktion. Offenbar gibt es für jeden Punkt x eine andere Bildmenge mit anderer Mächtigkeit.

Für <math> x=1/2 </math> ist der Bildbereich beispielsweise <math>r(1/2)\in \{i,-i\}</math>.

Meine erste Frage ist: Wenn ich für x eine transzendente Zahl einsetze, ist dann jede Zahl

<math>|r|=1</math>,  <math>r\in \mathbb{C} </math>,

also der komplette  Kreisring <math>S^1</math>, im Bildbereich?

Wenn es so wäre und man man das ganze Intervall <math> x\in [0,1]</math> betrachten würde, wäre der Bildraum so etwas wie ein Zylinder mit Fehlstellen für rationale <math>x</math>. Sehr kurios.

Zweite Frage:
Kann man diese Relation für irgendwas sinnvolles benutzen? Ich hab im Netz nicht  sehr viel darüber gefunden. Mir scheint es ein Beispiel dafür zu sein dass, man mit einfachen Formeln auch sehr komplexe Dinge hinschreiben kann. Wo finde ich was darüber?


Viele Grüße

holsteiner






 



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lula
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Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-21


Hallo
 natürlich kann man beliebig unsinnige Formeln hinschreiben. im Komplexen machen sie Sinn, aber dort ist a^x über den  komplexen log definiert, was wohl deine momentanen Kenntnisse übersteigt.
bis dann lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-04-21


Hallo,

es ist eine Frage aus dem 3. Semester  smile

Hat eine komplexe Zahl <math>z\neq 0</math> die Polarkoordinatendarstellung <math>z=r \exp(i\varphi)</math>, so ist die Menge der Logarithmen von <math>z</math> gegeben durch <math>\log z=\ln r+i\varphi+2k\pi i</math> mit <math>k\in\mathbb{Z}</math>.

<math>\ln</math> ist der reelle natürliche Logarithmus, und die Logarithmen sind genau alle Zahlen <math>\log z</math>, so dass <math>e^{\log z}=z</math> ist.

Damit definiert man dann für <math>z\neq0</math> und <math>w\in \mathbb{C}</math> mit der Idee <math>z^w=e^{\log z^w}</math>:

<math>\displaystyle z^w:=e^{w (\log z+2k\pi i)}</math>.

Das bedeutet, dass für rationales <math>w=\frac{p}{q}</math> (gekürzt) der Ausdruck <math>z^w</math> genau <math>q</math> verschiedenen Werte annimmt, für alle irrationalen Zahlen, transzendent oder nicht, abzählbar viele Werte.

Wally



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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


Moin,
ja, der Graph der Relation

<math> \{(x,(-1)^x)|~ x \in [0,1] \} ~\subset [~0,1] \times  \mathbb{C} \} </math>

fordert meine Vorstellungskraft tatsächlich etwas heraus. Aber dazu muß ich mir erst noch die passende Frage einfallen lassen.


Danke für die Antworten!


Viele Grüße

holsteiner



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holsteiner hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
holsteiner hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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