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Moderiert von Buri Gockel
Mathematik » Strukturen und Algebra » Normierung Lie-Algebra
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Universität/Hochschule Normierung Lie-Algebra
digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-04-21 21:12


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-21 21:47


Hallo digerdiga,

die Abbildung <math>(S,T)\mapsto\mathop{\rm Tr}(ST)</math> ist eine symmetrische Bilinearform auf der Lie-Algebra. Und wie für jede symmetrische Bilinearform auf einem Vektorraum kann man diese durch geeignete Basiswahl in eine Standardform bringen.

Falls die Bilinearform definit ist, kann man durch Orthogonalisierung, ausgehend von einer beliebigen Basis, stets <math>\mathop{\rm Tr}(T^aT^b)=\lambda\,\delta_{ab}</math> erreichen.

Bedingungen dafür, dass der definite Fall vorliegt, findest Du unter dem Stichwort Killing-Form.

Grüße,
dromedar



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21 23:12


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-04-22 01:36


2017-04-21 23:12 - digerdiga in Beitrag No. 2 schreibt:
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Nein. Ich meinte, dass man die Lie-Algebra für die Orthogonalisierung wie jeden anderen Vektorraum behandelt: Man hat zunächst irgendeine Basis <math>(B^1,\ldots,B^n)</math>, die die Lie-Algebra aufspannt, und geht von da zu einer Basis <math>T^a=\sum_i m^a_{\hphantom ai}\,B^i</math> über, indem man die Basiswechselmatrix <math>M=(m^a_{\hphantom ai})</math> mittels eines Orthogonalisierungsverfahrens ermittelt.



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-22 02:05


Ok Danke.
Im konkreten Fall wenn die symmetrische Bilinearform ausgedrückt durch eine Matrix nicht definit ist, sondern eine 4x4 Matrix 3 negative und 1 positiven Eigenwert hat, dann kann man aber auch immer durch Basiswechsel auf +- diag(1,-1,-1,-1) transformieren?



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-04-22 09:48


Ja, das wäre in diesem Fall die Normalform.



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