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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Gewöhnliche Differentialgleichung, Rand- und Eigenwertprobleme
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Universität/Hochschule Gewöhnliche Differentialgleichung, Rand- und Eigenwertprobleme
SauberC9
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-04-21


Hey,

ich hab folgende Aufgabe:


Wenn ich bei Aufgabe a) ganz stumpf y(0)= 0 und y(pi)=0 setze, dann bekomme ich A=0 und B=0 raus. Das kann doch nicht sein. Wie gehe ich da vor? Ist der Ansatz einfach, dass man die Bedingungen einsetzt, wenn man das differential ausgerechnet hat (DGL 2. Ordnung

Danke



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-21


Hallo,
Du hast bisher den Tipp aus der Aufgabe noch nicht beachtet, dass es einen Unterschied macht, ob k ganzzahlig ist oder nicht.
Ansonsten ist Einsetzen schon richtig.

Viele Grüße,
haerter


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-04-21


Hallo
 die triviale Lösung y=0 ist nicht falsch aber wie kannst du denn k wählen, damit A!=0
Gruß lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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SauberC9
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


2017-04-21 23:17 - lula in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo
 die triviale Lösung y=0 ist nicht falsch aber wie kannst du denn k wählen, damit A!=0
Gruß lula

A wird dann 0, wenn k ein ganzzahliges Vielfaches ist. Dies gilt auch für B oder?



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loop_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-04-21


Ich versuche es mal für die a) vorzumachen:

Offensichtlich ist <math>y(x) = 0</math> (triviale) Lösung. Nun suchen wir Lösungen, sodass <math>y(x) \neq 0</math> ist:

- <math>y(0) = B = 0</math>

Damit ist die Lösung schonmal der Form <math>y(x) = A\sin(kx)</math>. Betrachte nun zweiten Randwert


- <math>y(\pi) = A\sin(k\pi) = 0</math>

Für <math>A = 0</math> erhalten wir unsere triviale Lösung und widerspricht <math>y(x) \neq 0</math>. Also muss <math>\sin(k\pi) = 0</math> gelten. Wir wissen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn <math>k \in \mathbb{Z}</math> ist. Falls <math>k</math> nicht in <math>\mathbb{Z}</math> liegt, so ist <math>\sin(k\pi) \neq 0</math>, sodass widerrum <math>A = 0</math> gelten müsste. D.h. die Lösungen sind:

<math>y(x) = A\sin(k\pi)</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}, A \in \mathbb{R}</math> und <math>y(x) = 0</math>




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SauberC9
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-22


2017-04-21 23:51 - loop_ in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich versuche es mal für die a) vorzumachen:

Offensichtlich ist <math>y(x) = 0</math> (triviale) Lösung. Nun suchen wir Lösungen, sodass <math>y(x) \neq 0</math> ist:

- <math>y(0) = B = 0</math>

Damit ist die Lösung schonmal der Form <math>y(x) = A\sin(kx)</math>. Betrachte nun zweiten Randwert


- <math>y(\pi) = A\sin(k\pi) = 0</math>

Für <math>A = 0</math> erhalten wir unsere triviale Lösung und widerspricht <math>y(x) \neq 0</math>. Also muss <math>\sin(k\pi) = 0</math> gelten. Wir wissen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn <math>k \in \mathbb{Z}</math> ist. Falls <math>k</math> nicht in <math>\mathbb{Z}</math> liegt, so ist <math>\sin(k\pi) \neq 0</math>, sodass widerrum <math>A = 0</math> gelten müsste. D.h. die Lösungen sind:

<math>y(x) = A\sin(k\pi)</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}, A \in \mathbb{R}</math> und <math>y(x) = 0</math>



danke für die Lösung eines Beispiels. Hab das jetzt auch ungefähr verstanden, aber wieso ist

<math>y(0) = B = 0</math> eine Lösung für <math>y(x) \neq 0</math> ? Ist es nicht <math>y(x) = 0</math>

zu b)

bei der ersten Lsg beim Randwert <math>y(0) = 1</math> bekomme ich  <math>y(x) = A\sin(kx)+\cos(kx)</math> raus. Ist das soweit richtig?




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loop_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-04-22


<math>y(0) = B = 0</math>

ist keine allg. Lösung des Problems, sondern ich setze lediglich den ersten Randwert ein um den Koeffizienten <math>B</math> zu bestimmen. Und dieser muss hier <math>0</math> sein.

Bei der b) bekommst du durch den ersten Randwert heraus, dass <math>B = 1</math> gelten muss. Benutze den zweiten Randwert für die restlichen Koeffizienten. Dann kannst du damit die allg. Lösung aufstellen.



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SauberC9
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-22


2017-04-22 15:37 - loop_ in Beitrag No. 6 schreibt:
<math>y(0) = B = 0</math>

ist keine allg. Lösung des Problems, sondern ich setze lediglich den ersten Randwert ein um den Koeffizienten <math>B</math> zu bestimmen. Und dieser muss hier <math>0</math> sein.

Bei der b) bekommst du durch den ersten Randwert heraus, dass <math>B = 1</math> gelten muss. Benutze den zweiten Randwert für die restlichen Koeffizienten. Dann kannst du damit die allg. Lösung aufstellen.

ahh okay dann hab ich a) jetzt verstanden.

zu b)

B=1 hab ich auch raus. Wenn man den zweiten Randwert verwendet bekomme ich:
<math>y(\pi) = 1 = A\sin(k\pi)+cos(k\pi)=1</math>  raus. Dieser Term wird dann 1 wenn gilt: A=0 und <math>cos(k\pi)</math> bei k = gerade Zahlen, also <math>y(\pi) = (-1)\^(2k)=1</math>.
Wenn A=0 ist, widerspricht dies wie bei a) mit <math>y(x) \neq 1</math>. Deswegen muss <math>sin(k\pi)=0</math> bei <math>k \in \mathbb{Z}</math>.
Wenn nicht <math>k \in \mathbb{Z}</math> gilt dann ist A=0.

Ist das soweit richtig?



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loop_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-04-23


Ich würde bei der b) eher so vorgehen:

1. Fall: <math>k = 2n</math> mit <math>n \in \mathbb{Z}</math>, dann ist die Lösung für alle <math>A</math> gegeben durch....

2. Fall: <math>k \neq 2n</math> ....


Edit:

Vielleicht ist es doch besser erst nach <math>k</math> auszulösen und sich dann Gedanken zu machen.



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SauberC9
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-23


2017-04-23 10:30 - loop_ in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich würde bei der b) eher so vorgehen:

1. Fall: <math>k = 2n</math> mit <math>n \in \mathbb{Z}</math>, dann ist die Lösung für alle <math>A</math> gegeben durch....

2. Fall: <math>k \neq 2n</math> ....


Edit:

Vielleicht ist es doch besser erst nach <math>k</math> auszulösen und sich dann Gedanken zu machen.

1. Fall: <math>k = 2n</math> mit <math>n \in \mathbb{Z}</math>, dann muss <math>A \in \mathbb{R}</math>, weil der sin-Termn eh immer null wird.

2. Fall: <math>k \neq 2n</math> dann muss wieder <math>A \in \mathbb{R}</math> sein, aber B muss B=-1 sein.

Das würde ja <math>y(x) \neq 1</math> widersprechen.



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loop_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-04-23


Also erstmal hast du <math>B = 1</math> doch schon durch deinen ersten Randwert bestimmt. An dem ändert sich auch nichts mehr.

Für den ersten Fall <math>k = 2n</math> sollte es eher heißen, dass dies für alle <math>A</math> gilt.

Als nächstes würde ich einfach mal nach <math>k</math> auflösen.



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