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Mathematik » Strukturen und Algebra » Zeigen, dass eine Verknüpfung assoziativ/kommutativ ist
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Universität/Hochschule Zeigen, dass eine Verknüpfung assoziativ/kommutativ ist
tehtacolord
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-04-21


Hallo,

in einer Übungsaufgabe ist folgende Aufgabenstellung gegeben:


Allerdings stehe ich da etwas auf dem Schlauch.
Um zu beweisen, dass diese interne Verknüpfung assoziativ ist, könnte ich mir ja die Definition zur Hilfe ziehen:

"Eine Verknüpfung ¤ heißt assoziativ, wenn gilt (a¤b)¤c=a¤(b¤c) für alle a,b,c aus der zugrundeliegenden Menge G"

Hinzu kommt, dass ich von einem Kommilitonen den Hinweis auf das neutrale Element erhalten habe. Das neutrale Element e ist das eindeutige Element aus der zugrundeliegenden Menge G mit der Eigenschaft e ¤ a = a ¤ e = a für alle a aus G"

Setze ich dieses neutrale Element in die Definition für Assoziativität ein, z.B. an der Stelle c, so erhalte ich:

(a¤b)¤e=a¤(b¤e)

Das würde in Kombination mit der Def. des neutralen Elementes zu a¤b=a¤b führen. Wäre der Beweis damit abgeschlossen? (Von den Formalitäten abgesehen)

Bin ich womöglich komplett auf dem Holzweg?

Außerdem: Ich habe als neutrales Element der o.g. Verknüpfung die Zahl 0 bestimmt - ist das soweit richtig?

Wie würde ich bzgl. der Kommutativität vorgehen?

Besten Dank vorab für die Beantwortung meiner (wahrscheinlich banalen, es ist spät) Fragen :-)



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-21


Hallo,

zur assoziativität:


Hinzu kommt, dass ich von einem Kommilitonen den Hinweis auf das neutrale Element erhalten habe.

Das neutrale Element hängt mit diesem Teil der Aufgabe nicht zusammen.
Die Assoziativität ist ganz allgemein zu zeigen.

Was dafür zu zeigen ist, hast du ja bereits aufgeschrieben.
(Ich schreibe <math>\ast</math> für das umgedrehte T, da ich den LaTex-Befehl nicht kenne...)

<math>a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c</math>

Was bedeutet dies nun, wenn du die Definition von <math>\ast</math> benutzt?



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tehtacolord
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


In Worten:

Seien a,b,c beliebig aber fest

Das "Ergebnis" der Verknüpfung von a mit dem "Ergebnis" der Verknüpfung von b und c muss gleich dem Ergebnis der Verknüpfung von a und b verknüpft mit c sein.

Der Gedanke führt mich aber ehrlich gesagt im Moment nicht weiter - kannst du mir auf die Sprünge helfen?


Dass im Endeffekt auf beiden Seiten das Maximum dieser dreier Werte "herauskommt" ist mir bewusst - nicht jedoch, wie das formal richtig und vor allem allgemeingültig zu zeigen ist.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-04-21


Wendest du die Definition von <math>\ast</math> an, dann erhältst du:

<math>a\ast(b\ast c)=a\ast \max\{b,c\}</math>

Ist dir dieser Schritt klar?
Was erhältst du, wenn du nochmal die Definition von <math>\ast</math> anwendest?
Kannst du nun die gewünschte Gleichheit herstellen?



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tehtacolord
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


<math> a * (b*c) = max\{a,max\{b,c\}\}</math> oder nicht?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-04-21


2017-04-21 21:33 - tehtacolord im Themenstart schreibt:
Außerdem: Ich habe als neutrales Element der o.g. Verknüpfung die Zahl 0 bestimmt - ist das soweit richtig?
Das ist falsch: <math>-5 \perp 0 = 0 \neq -5</math>. Nicht alle Teilmengen <math>H\subseteq\mathbb R</math> haben ein neutrales Element für das darauf eingeschränkte <math>\perp</math>. Es gibt aber solche. Insofern gibt es für iii korrekte Antworten. Neben dem streng genommen erlaubten <math>H=\emptyset</math> gibt es auch interessantere Teilmengen ohne neutrales Element.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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tehtacolord
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


2017-04-21 22:02 - tactac in Beitrag No. 5 schreibt:
2017-04-21 21:33 - tehtacolord im Themenstart schreibt:
Außerdem: Ich habe als neutrales Element der o.g. Verknüpfung die Zahl 0 bestimmt - ist das soweit richtig?
Das ist falsch: <math>-5 \perp 0 = 0 \neq -5</math>. Nicht alle Teilmengen <math>H\subseteq\mathbb R</math> haben ein neutrales Element für das darauf eingeschränkte <math>\perp</math>. Es gibt aber solche. Insofern gibt es für iii korrekte Antworten. Neben dem streng genommen erlaubten <math>H=\emptyset</math> gibt es auch interessantere Teilmengen ohne neutrales Element.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

Stimmt, danke.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-04-21


2017-04-21 22:02 - tehtacolord in Beitrag No. 4 schreibt:
<math> a * (b*c) = max\{a,max\{b,c\}\}</math> oder nicht?

Genau.

Nun musst du nachsehen, wie ihr das <math>\max</math> definiert habt.

Wie kann man <math>\max\{a,\max\{b,c\}\}</math> noch schreiben?



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-04-21


Moin, mit Gruppentheorie hat das nicht viel zu tun.

Den Begriff "stabiler Teil" höre ich (und anscheinend auch Google) zum ersten Mal.

Die Verknüpfung lässt sich auf jede nicht leere Teilmenge <math>H</math> einschränken, ist wohl gemeint?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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tehtacolord
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


2017-04-21 22:07 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 7 schreibt:
2017-04-21 22:02 - tehtacolord in Beitrag No. 4 schreibt:
<math> a * (b*c) = max\{a,max\{b,c\}\}</math> oder nicht?

Genau.

Nun musst du nachsehen, wie ihr das <math>\max</math> definiert habt.

Wie kann man <math>\max\{a,\max\{b,c\}\}</math> noch schreiben?
<math> a*(b*c) = max\{max\{a,b\},c\}</math> ?


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-04-21


Ja, das ist richtig, aber es ist wohl hilfreich, wenn du noch einen Zwischenschritt einfügst.

Wie habt ihr das Maximum definiert?



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tehtacolord
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


Garnicht. Das Maximum soll hier aber immer die "größere" Zahl sein. Bei Werten kleiner 0 alles was näher zur 0 ist und bei Werten größer 0 alles in Richtung unendlich.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-04-21


Das wäre sehr ungewöhnlich.

Du kannst aber zum Beispiel einmal hier nachsehen:

hier



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tehtacolord
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


Die Definition entspricht zumindest dem, wie wir das Maximum bisher behandelt haben. Ich würde mal sagen, dass diese Definition daher passt.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-04-21


Ich glaube nicht, dass ihr in der Vorlesung über Dinge sprecht, die ihr vorher nicht erklärt habt. Auch wenn die Definition des Maximums natürlich sehr "einleuchtend" ist.

Darauf möchte ich aber gar nicht hinaus.

Welchen Zwischenschritt könntest du denn nun einfügen? (Edit: Siehe dazu etwa die Definition bzw. den Zusatz im angegebenen Link)

<math>\max\{a,\max\{b,c\}\}=\dotso=\max\{\max\{a,b\},c\}=\dotso=(a\ast b)\ast c</math>

Die "<math>\dotso</math>" wären noch zu füllen. :)



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-04-21


2017-04-21 22:48 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 14 schreibt:
(Edit: Siehe dazu etwa die Definition bzw. den Zusatz im angegebenen Link)
Wenn man vom Maximum von 2 Zahlen als Definition ausgeht, ist der "Zusatz" dort allerdings nur sinnvoll (also wohldefiniert), wenn man Assoziativität, Kommutativität und Idempotenz schon weiß.

Die dort angegebene Definition des Maximums zweier Zahlen per Fallunterscheidung geht zudem davon aus, dass immer <math>x\geq y</math> oder <math>x\not\geq y</math> gilt. Auch dies ist schlecht. Davon abgesehen, lässt sich mit Fallunterscheidungen nicht gut arbeiten.
Weiter unten ist eine "Charakterisierung" angegeben: für alle <math>x,y,z\in \mathbb R</math> soll gelten
    <math>\begin{array}{|c|}\hline\max(x,y)\leq z \iff x\leq z \land y \leq z\\\hline\end{array}</math>.
Die kann man eigentlich als Definition von <math>\max</math> nehmen. (Wenn man den Luxus nicht hat, beweise man die Charakterisierung und vergesse danach die Definition per Fallunterscheidung.) Die auf dieser Basis gewonnenen Beweise der Assoziativität und Kommutativität sind konstruktiv, gut lesbar, und 1-zu-1 auf geordnete Mengen übertragbar, wo die Ordnung nicht total ist (dann nennt man das aber besser "Supremum", nicht "Maximum").
Erst bei Aufgbenteil ii muss man die Totalität benutzen. </rant>



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2017-04-22


Ja klar,

<math>\max(x,y):=\min(\{z\in \mathbb R|x\le z \land y\le z\})</math>

ist die Definition von max(x,y), welche man hier einfach nehmen MUSS. Interessanterweise kann man das aber auch auf arithmetische Grundoperationen zurückführen, z.B.

<math>\max(a,b):=\frac{x+y+|x-y|}2</math>

wenngleich das hier nicht ratsam ist.



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tehtacolord
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-23


2017-04-21 22:48 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 14 schreibt:
Ich glaube nicht, dass ihr in der Vorlesung über Dinge sprecht, die ihr vorher nicht erklärt habt. Auch wenn die Definition des Maximums natürlich sehr "einleuchtend" ist.

Darauf möchte ich aber gar nicht hinaus.

Welchen Zwischenschritt könntest du denn nun einfügen? (Edit: Siehe dazu etwa die Definition bzw. den Zusatz im angegebenen Link)

<math>\max\{a,\max\{b,c\}\}=\dotso=\max\{\max\{a,b\},c\}=\dotso=(a\ast b)\ast c</math>

Die "<math>\dotso</math>" wären noch zu füllen. :)

<math>\max\{a,\max\{b,c\}\}= a \ast (\max\{b,c\})=\max\{\max\{a,b\},c\}= \max\{a,(b \ast c) \}=(a\ast b)\ast c</math> ?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
helmetzer
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Aus: Helmbrechts, Franken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-04-23


Moin, Beitrag No. 17 bringt, denke ich, nichts voran. Wenn man das Maximum zunächst für <math>2</math> Elemente definiert, wird man nicht umhinkommen, die Kommutativität zu zeigen.

Bei der Assoziativität kann man sich dann wohl auf den Fall <math>a \leq b \leq c</math> beschränken, wobei dann egal, wie man klammert, immer <math>c</math> herauskommt.

Mit der bekannten Verallgemeinerung der Assoziativität auf mehr als <math>3</math> Elemente, kann man dann zeigen, dass jede endliche Teilmenge einer total geordneten Menge ein Maximum hat.



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