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Mathematik » Geometrie » Ist der Umfang immer die Ableitung des Flächeninhalts nach dem Radius?
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Universität/Hochschule Ist der Umfang immer die Ableitung des Flächeninhalts nach dem Radius?
densch
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2017
Mitteilungen: 6
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-05-13


Hallo,
da dies beim Kreis so ist, habe ich mich gerade gefragt ob immer der umfang die Ableitung des Flächeninhalts nach dem Radius ist?

Radius würde ich mal allgemein definieren als Abstand eines Punktes auf der Umrandung des Körpers vom geometrischen Mittelpunkt der Figur.

Selbstredend würde ich da auch zu Polarkoordinaten greifen.

Nehmen wir beispielsweise ein Quadrat mit Kantenlänge 2a.
Da würde ich erst mal das Quadrat grundlegend in 8 Bereiche einteilen und für jeden von diesen entsprechende Formeln für die Polarkoordinaten herleiten.

Beispielsweise ist in einem der Bereiche x=a fest und 0<=y<=a.
Da könnte man dann aus simpler Geometrie die Regeln finden:
a^2+y^2=r^2
und
tan(alpha)=y^2/a^2
(beiläufig kann man daraus dann folgern dass
r^2=a^2+a^2*tan(alpha)=a^2*(1+tan(alpha)) ist)
Damit haben wir die ebenen Polardoordinaten r und alpha für diesen bereich definiert.


So könnte man weiter verfahren mit den anderen Bereichen, wobei halt zu beachten ist dass mit steigendem Winkel der Radius periodisch ansteigt bis zum Maximum Wurzel(a^2+a^2) und dann wieder auf sein minimum Wurzel(a^2+0^2)=Wurzel(a^2)=a runtergeht.

So würde ich jedenfalls abschnittsweise die polarkoordinaten definieren.

und darauf aufbauend könnte man sich umfang und Fläheninhalt herleiten.
(Wie genau allerdings, ist mir aktuell unklar)
Und dann vergleichen ob auch hier die Eingangs genannte Regel gilt.

und danach das selbe Spiel für Rechteck und alle anderen regelmäßigen Vielecke.

Was meint ihr zu dem thema, hättet ihr ideen für die weitere Berechnung, wie die geht?
Oder grundsätzlich eine Begründung für oder gegen meine Hypothese?



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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 2821
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-05-13


Hallo densch,
um nach einer Variable ableiten zu können, muss diese variabel sein und keine Konstante. Bei der Kreisfläche ist r der konstante Radius, beim Quadrat, Rechteck, Polygon, Ellipse tritt gar kein einzelner Radius mehr in der Formel für den Flächeninhalt auf. Möglicherweise muss man das etwas anders formulieren, wenn es einen derartigen Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Umfang gibt. Wenn man Fläche und "Umrandung" für einen Sektor ausrechnet, der vom Koordinatenursprung aus zu einer gegebenen Kurve aufgespannt wird,

<math>A(s) = \frac{1}{2} \int \limits_{0}^{s} \vec{r}(s) \times \overrightarrow{dr}(s)</math>
<math>u(s) = \int \limits_{0}^{s} dr(s)</math>

dann ist in u "ein r weniger" und "ein Faktor 2 mehr" enthalten, wie es bei der Ableitung sein soll, aber eine richtige Ableitung ist das natürlich nicht. Ich habe die Formeln jetzt nicht näher erläutert und auch keinen passenden Link gefunden.

Herzlich willkommen auf dem Matheplanet

(und nutze [fed-Bereich] oder [LaTeX-Bereich] unter dem Eingabefenster  wink  ).



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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 4508
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-05-13


Um eine ähnliche Frage ging es in dem Thread "Kreisfläche ableiten = Kreisumfang".

Grüße,
dromedar



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trunx
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.08.2003
Mitteilungen: 2638
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-05-13


Hallo und herzlich Willkommen auch von mir.

Für regelmäßige n-Ecke gilt im 2-Dimensionalen <math>U(\rho)=A'(\rho)</math> und im 3-Dimensionalen <math>A(\rho)=V'(\rho)</math>, wobei die 3-dimensionalen n-Ecke natürlich die platonischen Körper sind. <math>\rho</math> ist der Inkreis- bzw. Inkugelradius.

Dies gilt wohl auch für unregelmäßige Flächen, die einen Inkreis haben, siehe hier. Ob dies auch für unregelmäßige Körper, die eine Inkugel haben, weiss ich nicht.

bye trunx


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das problem des menschen ist nicht, dass er fleisch von tieren isst, sondern dass er für sein wachstum KRIEG gegen alle anderen lebensformen führt. dieser krieg nennt sich (land)wirtschaft, seine ideologische legitimation kultur.



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trunx
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.08.2003
Mitteilungen: 2638
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-05-14


Für Körper, deren Oberfläche aus unregelmässigen, ebenen Flächen besteht und die eine Inkugel mit Radius <math>\rho</math> besitzen (sprich jede Teiloberfläche des Körpers ist zugleich deren Tangentialebene), gilt zumindest <math>3V=\rho\cdot A_O</math>, wobei V das Volumen und <math>A_O</math> die Körperoberfläche ist.

Beweis: Man verbinde die Eckpunkte des Körpers mit dem Mittelpunkt der Inkugel. Dadurch entstehen Pyramiden mit den jeweiligen Teiloberflächen als Grundflächen. Da diese ja auch Tangentialebenen der Inkugel sind, ist <math>\rho</math> die Höhe dieser Pyramide. Deren Volumen ergibt sich daher zu <math>V_i=\frac13 A_i \rho</math>. Die Summe über alle i ergibt dann das Gewünschte.

Ist <math>A_O</math> darüberhinaus proportional zu <math>\rho^2</math>, dann gilt hier ebenfalls <math>A_O(\rho)=V'(\rho)</math> (für die unregelmässigen Polyeder mit Inkreis hatte ich oben vorausgesetzt, dass U proportional zu <math>\rho</math>).


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MartinN
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 729
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-05-19


Hi, das habe ich mich auch schon mal gefragt - also, ob man so etwas vereinheitlichen könnte, so dass man ein Radius-Äquivalent für eine geometrische Figur besitzt und eine Funktion, die dann Fläche und als Ableitung Umfang angibt...


Also, wenn man eine ebene Figur mit bestimmten Abständen und Seitenlängen <math>s_i; i \in [0;k]</math> hat, dann sei deren Fläche A und Umfang U:
<math>A = f_A(s_0;...;s_k); U = f_U(s_0;...;s_k)</math>

Wenn man dies nun auf einen Abstand/Seite <math>s_0</math> normiert und die Verhältnisse angibt: <math>v_i = s_i/s_0; i \in [1;k]</math>, sowie einen Radis r der Figur angeben kann: <math>r = r(s_0;...;s_k)</math>.

Gibt es dann immer eine Funktion <math>f(r;v_1;...;v_k)</math>, so dass:
<math>A = f(r;v_1;...;v_k); U = \frac{d}{dr} f(r;v_1;...;v_k)</math>?


Beim Rechteck geht dies zumindest...
Hier seien <math>s_0 = a; s_1 = b</math> die jeweiligen Seiten.
Dann ist ein entsprechender Radius: <math>r(a;b) = \frac{ab}{a+b}</math>
Und das Seitenverhältnis: <math>v = \frac{b}{a}</math>

Dann gibt es die Funktion: <math>f(r;v) = r^2 \frac{(1+v)^2}{v}</math> und damit:
<math>f(r;v) = r^2 \frac{(1+v)^2}{v} = \frac{a^2b^2}{(a+b)^2} \frac{\frac{(a+b)^2}{a^2}}{\frac{b}{a}} = ab = A\\
\frac{df(r;v)}{dr} = 2r \frac{(1+v)^2}{v} = 2\frac{ab}{a+b} \frac{\frac{(a+b)^2}{a^2}}{\frac{b}{a}} = 2(a+b) = u</math>


Also, für das Rechteck (mit einem bestimmten Verhältnis v) könnte man so ein Radius-Äquivalent <math>r = (ab)/(a+b)</math> angeben, und dann auch eine Funktion, welche die Fläche und als Ableitung den Umfang ausgibt ^^


Aber kA ob das für alle ebenen Figuren möglich ist...



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lula
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 10485
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-05-19


Hallo
 die Fläche einer Ellipse ist sehr einfach zu berechnen, der Umfang nicht, weder mit Inkreis, noch mit Umkreis, damit bekommt man höchstens Abschätzungen für den Umfang. Also gibt es keine einfache Möglichkeit den Umfang auszurechnen. die Schwierigkeit dabei liegt bei der Konstruktion der Parallelkurve, die beim Rechteck ja einfach ist, bei Vielecken auch, bei der Ellipse nicht.
Gruß lula


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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GordonYoung
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.08.2015
Mitteilungen: 29
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-05-19


es ist ja so, die Ableitung sagt ja, um wie viel sich der Output ändert, wenn der Input sich ein wenig ändert.

sagen wir, wir haben einen Kreis vom Radius x mit Flächeninhalt A. Wenn man jetzt den Kreis mit Radius x+h anschaut, der hat ja dann ungefähr den Flächeninhalt A+h*Umfang (umso genauer, wenn h kleiner ist), also hat die Flächenfunktion bezüglich des Radius den Umfang als Ableitung.

anschaulich in diesem Video: www.youtube.com/watch?v=WUvTyaaNkzM

das geht natürlich mit jeder Form, falls eine Veränderung des Radius um h für kleine h ungefähr h mal der Umfang ist. Betrachte doch das Quadrat, und als Radius, x, nimmst du die Strecke die vom Mittelpunkt senkrecht auf einer der vier Seiten steht. Das Quadrat hat dann Fläche 4x^2, und Umfang 8x, was genau die Ableitung von 4x^2 ist.



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