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Mathematik » Numerik & Optimierung » Integral
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Universität/Hochschule J Integral
Emma22
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-05-16 22:29


Hey Leute bin hier leider überfragt und würde mich über Hilfe freuen

Es sei E = conv{A,B} die gemeinsame Kante der Dreiecke T+ = conv{A,B,P+} und T− = conv{A,B,P−}. Weiterhin bezeichne α den Innenwinkel des Dreiecks T+ in der Ecke P+, β den Innenwinkel im Dreieck T− in der Ecke P−, und ωE := T+ ∪T− das Kantenpatch zu E. Zeigen Sie, dass f¨ur die nodalen Basisfunktionen ϕA,ϕB gilt:

fed-Code einblenden
weiß wer wie ich das angehen muss?
vielen Dank schonmal



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Emma22
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17 22:34





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Emma22
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-18 13:27





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Wolti
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-05-19 09:56


Hallo Emma,

es ist hilfreich, hier erstmal nur eines der Dreiecke zu betrachten, z.B. <math>T^+</math>. Der Gradient der Basisfunktionen ist ja konstant auf dem Dreieck. Wir bezeichnen die Koordinaten der Punkte mit <math>A = (x_A, y_A)</math>, <math>B = (x_B, y_B)</math>, <math>P^+ = (x_+, y_+)</math>

Bezeichne die lineare Basisfunktion im Punkt A mit <math>\phi_A(x,y)=a_1 x + a_2 y + a_3</math>.

Bestimme erst einmal die Werte der <math>a_i</math> (sollte aus der Vorlesung bzw. Übung bekannt sein) und rechne explizit den Vektor <math>\nabla(\phi_A)</math> aus. Dann sehen wir weiter.



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Emma22
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19 10:13


vielen Dank für die Antwort :)
soweit bin ich nun auch schon gekommen... hatte es allerdings wie in meiner formel, den Gradient von B bestimmt
und dann irgendwie zeigen können, dass das Integral auf dem Rand von T+ ohne die gemeinsame seite E, gleich -1/2(cot(a))ist, allerdings nur falls T+ rechtwinklig ist :/  
für andere Dreiecke funktioniert das leider irgendwie noch nicht... kann man die bhpt irgendwie von rechtwinkligen Dreiecken auf die restlichen generiernen?

Vielen Dank schonmal und LG



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Wolti
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-05-19 11:33


Betrachte folgende Zeichnung:

cotangent formula

Es gilt

<math>(1)\quad \nabla\phi_A\cdot\nabla\phi_B = |\nabla\phi_A| |\nabla\phi_B| \cos \theta = \frac{|e_A|}{2|T^+|}\frac{|e_B|}{2|T^+|} \cos \theta</math>

wobei <math>|T^+|</math> der Flächeninhalt des Dreiecks ist. Die Formel <math>|\nabla\phi_A| = \frac{|e_A|}{2|T^+|}</math> erhältst du durch explizites Nachrechnen mit den Koordinaten. Für den Winkel <math>\alpha</math> zwichen <math>e_A</math> und <math>e_B</math> gilt

<math>(2)\quad \cos \theta = -\cos (\pi - \theta) = -\cos \alpha</math>

so dass wir die erste Gleichung als

<math>(3)\quad \nabla\phi_A\cdot\nabla\phi_B = -\frac{|e_B|}{2|T^+|}\frac{|e_A|}{2|T^+|} \cos \alpha</math>

schreiben können. Es gilt aber auch

<math>(4)\quad \sin \alpha = \frac{h_B}{|e_A|} = \frac{h_A}{|e_B|}</math>

Schau einfach mal, ob du von hier selbst weiterkommst.

Gruß, Christian



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Emma22
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19 15:41


wow vielen Dank für die Mühe!

so ganz ist mir noch nicht klar warum die erste Gleichung gilt...

aber was ich lieber noch wissen wollen würde ist ob ich für den Bew einfach annehmen kann o.B.d.A das P+=(0.0) und A=(A1,0)???

und dann einfach nur die Bhpt für das Dreieck zeige und danach sage das drehen oder verschieben keinen unterschied macht... dann würden die meißsten Formeln von dir entfallen... :P



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Wolti
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-05-19 15:54


2017-05-19 15:41 - Emma22 in Beitrag No. 6 schreibt:
so ganz ist mir noch nicht klar warum die erste Gleichung gilt...

Dann schreibe doch mal auf, was du für <math>\nabla\phi_A</math> bzw. <math>\nabla\phi_B</math> auf <math>T^+</math> berechnet hast (mit den Bezeichnungen aus meiner ersten Antwort).

Da du im Grunde nur an dieser Stelle mit den tatsächlichen Koordinaten rechnen musst, bringt deine Überlegeung mit drehen und verschieben keinen großen Vorteil.

Edit: im Gegenteil, sie verstellt den Blick auf die geometrische Interpretation, welche gerade in der ersten Gleichung ausgedrückt wird.



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Emma22
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19 16:29


ich bin mir nicht sicher was du mit dem letzten Satz meinst,
aber ich soll doch zeigen dass für alle beliebigen dreicke T+ die Gleichung gilt:
fed-Code einblenden


da kann ich doch oBdA annehmen um die Bhpt zu zeigen das die Grundseite = eA (in deiner Zeichnung) auf der x-Achse liegt oder nicht?!?



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Wolti
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-05-19 17:36


Natürlich geht das. Aber es ist nicht so hilfreich, wie du dir vielleicht erhoffst.

Schreibe doch bitte einfach mal die Formel für <math>\nabla\phi_A</math> auf. Sonst kommen wir nicht voran.



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Emma22
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19 17:57


mano ich will aber niiicht :I

da kommt bei mir immer n mega Buchstaben salat raus
und wenn ich aber sage das eA auf der x achse liegt und P=(0,0), ist der Gradient bloß noch (0 ; 1/B2) und der andere (1/A1; -B1/(B2A1))
und dann steht mit dem integral sofort wunderbar die rechte seite da :D


ansonsten komme ich für grad(phi_A) auf sowas wie:

((B2-P2)/((B1-P1)(A2-P2)-(B2-P)(A1-P1)); 1/(A2-P2)-(B1-P1)/(A1-P1)(B-P2)) -.-



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Wolti
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-05-19 18:20


Das kann so nicht stimmen. Bei linearen Basisfunktionen muss im Nenner immer der Flächeninhalt des Dreiecks auftauchen, also <math>2|T|</math>. Diesen brauchst du auch nicht explizit aufzuschreiben (sonst werden die Formeln tatsächlich etwas unübersichtlich).

Die Formel für <math>\nabla\phi_A</math> auf <math>T^+</math> lautet

<math>\nabla\phi_A = \frac{1}{2|T^+|}(y_B - y_+,\ x_+ - x_B)^\intercal</math>

Das ist nun wirklich kein Buchstabensalat. Ihr hattet ja sicher etwas zur Berechnung in der Vorlesung, ansonsten hier noch mal eine Übersicht:

kratos-wiki.cimne.upc.edu/index.php/Two-dimensional_Shape_Functions

---

Jetzt aber weiter:

Mit <math>e_A</math> habe ich ja die A gegenüberliegende Seite bezeichnet. Betrachte <math>e_A</math> jetzt mal als Vektor von <math>P^+</math> nach <math>B</math> und berechne das Skalarprodukt mit <math>\nabla\phi_A</math>.



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Emma22
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ok hab alles raus vielen Dank nochmal!!

schönes Wochenende :))



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