Die Mathe-Redaktion - 17.10.2017 07:33 - Registrieren/Login
Auswahl
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 515 Gäste und 5 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Gockel Dune
Mathematik » Topologie » Matrix mit nichtnegativen Einträgen besitzt Eigenvektor mit nichtnegativen Koordinaten
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Matrix mit nichtnegativen Einträgen besitzt Eigenvektor mit nichtnegativen Koordinaten
Frettchen51
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.01.2017
Mitteilungen: 82
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-05-17


Hallo,

bekannt ist der Fixpunktsatz von Brouwer, der besagt, dann für einen abgeschlossen Ball <math>B_R(x)\subset\mathbb{R}^n</math> jede stetige Funktion <math>f:B_R(x)\rightarrow B_R(x)</math> einen Fixpunkt besitzt.

Damit soll nun gezeigt werden:
Ist <math>A=(a_{ij})</math> eine <math>n\times n</math>-Matrix mit <math>a_{ij}\ge 0</math>, so gibt es einen Eigenvektor mit nichtnegativen Einträgen.

Ein Beweis ist der folgende:
Sei <math>S=\{x\in\mathbb{R}^n:x_i\ge 0,\sum x_i=1\}</math>. Dann ist <math>f(s):=\frac{Ms}{|Ms|}</math> eine wohldefinierte Abbildung <math>S\rightarrow S</math>.

Wieso hat diese Abbildung nach Brouwer einen Fixpunkt?

Viele Grüße!





  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
TomTom314
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 441
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-05-18


Hallo Frettchen51,

S dürfte isomorph zu einem Ball <math>B_{n-1}</math> sein, auf dem Du dann Brouwer anwendest. Ich nehme Mal an, dass es <math>\sum x_i^2=1</math> heißen soll.

Viele Grüße
Tom



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Frettchen51
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.01.2017
Mitteilungen: 82
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-18


Hallo TomTom314,

danke für deine Hilfe. Ich meine ziemlich sicher <math>\sum x_i =1</math> und nicht <math>\sum x_i^2=1</math>.

Wieso ist <math>S</math> isomorph zu <math>\mathbb{D}^{n-1}</math>?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
TomTom314
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 441
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-05-18


Ich meinte homöomorph.

Wie ist denn dann <math>|Ms|</math> definiert? Bzw. mir ist nicht klar, dass <math>f(s)\in S</math> gilt.

Nun <math>S=\Delta_{n-1} </math> homöomorph zu <math>\mathbb{D}^{n-1}</math>. Im Prinzip nimmst Du den Mittelpunkt <math>\frac{1}{n}(1,\ldots,1)</math> und streckst alle Geraden zum Rand <math>\partial \Delta_{n-1}</math> auf die Länge 1.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Frettchen51
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.01.2017
Mitteilungen: 82
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-18


Aber ein <math>n-1</math>-Simplex ist doch eine Konvexkombination, also sollte es schon <math>\sum x_i =1</math> sein, so ist ja auch <math>\Delta_{n-1}</math> definiert. Aber ich verstehe dein Problem, die Abbildung geht nicht nach <math>f</math> bzw. ich sehe nicht, wieso sie das tut.

Kann man ein anderes <math>f</math> nehmen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
TomTom314
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 441
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-05-18


"Kann man ein anderes <math>f</math> nehmen?"

Mit <math>\sum x_i^2=1</math> hast Du <math>f:S\to S</math>. Du benötigst auch nicht unbedingt <math>S=\Delta_{n-1} </math>. Es muß nur so ähnlich aussehen (homöomorp). Durch eine passende Projektion läßt sich S auch wieder homöomorph auf <math>\Delta_{n-1}</math> bzw. <math>\mathbb{D}^{n-1}</math> abbilden.

Zum Verständnis ist eine Zeichnung hier wesentlich hilfreicher als Formeln.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 7847
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-05-18


Hallo, Frettchen,

was fehlt dir denn an der Anwendung des Satzes von Brower?
Ich nehme an, dass du mit <math>Ms</math> eher <math>As</math> meinst.

Wally



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Frettchen51
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.01.2017
Mitteilungen: 82
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-18


Hallo,

<math>M=A</math>, ja! Sorry.
Für die Anwendung benötige eine eine Stetige Funktion, die auf einem Ball definiert ist und deren Fixpunkt mir Auskunft über einen Eigenvektor gibt. Mein Problem: Mein <math>f</math> ist keine Funktion, die auf <math>S</math> abbildet.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 7847
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-05-18


Und wenn du statt der euklidischen eine andere Norm verwendest?

Wally



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Frettchen51
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.01.2017
Mitteilungen: 82
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-18


Welche schlägst du denn vor?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 7847
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-05-18


Eine, wo <math>S</math> die Norm 1 hat.

Wally



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
TomTom314
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 441
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-05-18


Jetzt habe ich auch noch zwei Anmerkungen:

Warum hälst an der Definition von S fest?
Und zum überlegen: Welchen Zweck hat der Nenner <math>\frac{\cdot}{|Ms|}</math>?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Frettchen51
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.01.2017
Mitteilungen: 82
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19


Warum ich an <math>S=\Delta^{n-1}</math> festhalte: Da dies so in meinen Aufzeichnungen steht und ich den Beweis verstehen will.

Dann nehmen wir mal die 1-Norm, also die Summe der Beträge der Koordinaten. Wir definieren dann <math>f:S\rightarrow S, f(x)=Ax/|Ax|_1</math>.

Wenn ich nun nachweisen möchte, dass <math>Ax/|Ax|_1</math> wieder in <math>S</math> liegt, gibt es zwei Dinge zu tun: Zunächst stellt man fest, dass <math>(Ax/|Ax|_1)_i</math>, i-te Koordinate, wieder nicht-negativ ist. Das ist klar. Dann stellt man fest: <math>\sum_i (Ax/|Ax|_1)_i=|Ax/|Ax|_1|_1=1/|Ax|_1 |Ax|_1=1</math>.

Hier habe ich aber an keiner Stelle <math>\sum x_i=1</math> benötigt, das kommt mir komisch vor.





  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
TomTom314
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 441
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2017-05-19


Das ist auch richtig. <math>1=\sum x_i=|x|_1</math> wird nur im Definitionsbereich verwendet, um die Voraussetzungen für Brouver zu schaffen.

Ok, dann habt Ihr wahrscheinlich auch die Konventionen |•|,||•|| für 1,2-Norm?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Frettchen51
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.01.2017
Mitteilungen: 82
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19


Du meinst, damit $S$ homöomorph zu der Kreisscheibe wird?

Von der Konvention wusste ich bisher nichts, aber vllt. wird es so sein, ja.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
TomTom314
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 441
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-05-19


Genau. Bei der 1-Norm kannst Du diesen Homöomorphismus am ehesten aufschreiben. Die Konvention hängt vom Autor ab und wird in der Numerik häufiger verwendet.

Und fürs Sternchen: Diese Konstruktion funktioniert für jede n-Norm.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 7847
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2017-05-19


Und vergiss nicht den Fall <math>Ax=0</math>.

Wally



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Frettchen51
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.01.2017
Mitteilungen: 82
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19


Stimmt, wally. Meine Funktion ist unter Umständen garnicht wohldefiniert, weil <math>Ax=0</math> gelten kann und ich dann durch <math>0</math> teile.

<math>x\in S</math>, also <math>x\neq 0</math>. Aber das heißt ja nicht, dass <math>Ax\neq 0</math>. <math>A</math> kann ja auch 0 sein.

Was macht man hier nun?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 7847
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-05-19


Denk mal scharf nach, was du wirklich suchst - keinen Fixpunkt, sondern einen Eigenvektor....

Wally



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Frettchen51
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.01.2017
Mitteilungen: 82
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19


Wenn <math>Ax=0</math>, dann ist <math>x</math> ein Eigenvektor zum Eigenwert <math>0</math>. Man beachte, dass Eigenvektoren per Definition ungleich <math>0</math> sind, aber da <math>x\in S</math>, ist <math>x\neq 0</math>.

Was bedeutet das aber für meine Funktion <math>f</math>? Die ist ja trotzdem für <math>Ax=0</math> nicht definiert.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
TomTom314
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 441
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2017-05-19


Bist Du im Fall Ax = 0 noch an f interessiert?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Frettchen51
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.01.2017
Mitteilungen: 82
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19


Grundsätzlich nein, aber wenn ich eine Abbildung hinschreibe, dann muss die doch wohldefiniert sein, egal ob mich die Stelle, an der sie nicht wohldefiniert ist, interessiert oder nicht.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
TomTom314
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 441
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2017-05-19


Du schreibst S hin und im Fall Ax = 0, ist es nicht nötig f zu definieren.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Frettchen51 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]