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Analysis » Funktionalanalysis » Anwendung Banachscher Fixpunktsatz, mit eigenartiger abgeschlossener Teilmenge
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Universität/Hochschule Anwendung Banachscher Fixpunktsatz, mit eigenartiger abgeschlossener Teilmenge
mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-05-19


Folgendes Beispiel habe ich zur Hälfte gelöst, und komme nun nicht mehr weiter.
Sei <math>A \subset \mathbb{R}^n</math> abgeschlossen.
a) Wenn <math>f:A\rightarrow A</math> , und es eine Folge <math>(\alpha_n) \subset \mathbb{R}_{+}</math> gibt mit <math>\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n < \infty</math> , so dass <math>\vert f^n (x) - f^n (y) \vert \leq \alpha_n *\vert x-y \vert \forall x,y \in A</math> , dann hat f einen Fixpunkt.

b) Wenn <math>f:A \rightarrow \mathbb{R}^n</math> eine Kontraktion ist, also <math>\exists c \in (0,1) : \vert f(x)-f(y) \vert \leq \vert x-y \vert</math> und es ein <math>x_0 \in A</math> gibt, mit <math>B_r (x_0) := \{y\in A : \vert x_0 -y \vert \leq \frac{1}{1-c} \vert f(x_0) - x_0 \vert \} \subset A</math> , dann hat <math>f</math> in <math>A</math> genau einen Fixpunkt.

a) <math>\alpha_n</math> muss eine Nullfolge sein, daher muss <math>f^n</math> ab genügend großen n eine Kontraktion sein, und daher einen Fixpunkt haben. Mit der Dreiecksungleichung folgt dann , dass f einen Fixpunkt hat.

b) ....Hier wollte ich irgendwie zeigen, dass man den Fixpunktsatz von Banach anwenden kann, und so habe ich versucht zu zeigen, dass
i)<math>f(y) \in B_r(x_0) \forall y \in A</math> ,dann dass
ii) entweder <math>f(y) \in B_r(x_0) </math> oder <math>f(y) \notin A</math> <math>\forall y \in A </math> , und dann noch
iii) eher recht ziellos ein bisschen mit der Dreiecksungleichung herumgespielt.
Das war leider alles erfolglos. Ich bitte für den Teil b) um Tips
LG, mpc



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-05-20


Hey mpc,

Bist du dir sicher, dass man diese Menge <math>B_r(x_0)</math> genannt hat? Denn ein <math>r</math> sehe ich nirgends...
Ich nenne diese Menge mal <math>B(x_0)</math>.
Nun, deine Idee i) ist fast die Richtige. Aber du musst ja auch gar nicht zeigen, dass <math>f</math> eine Abbildung <math>f:A \to B(x_0)</math> ist, es reicht ja, dass <math>f: B(x_0) \to B(x_0)</math> gilt. Und das kann man eigentlich recht einfach zeigen, wie du denke ich auch feststellen wirst



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mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-20


Danke für deine Antwort. Ja, auf dem Zettel ist <math>r = \frac{1}{1-c} \vert f(x_0) -x_0 \vert</math> , das habe ich in meiner Angabe vergessen.

b) Ok, wenn <math>y \in B_r (x_0)</math> , dann ist <math>\vert y-x_0 \vert -c\vert y-x_0 \vert \leq \vert f(x_0) -x_0 \vert </math>  <math>\Rightarrow  </math> <math>c \vert y-x_0 \vert -c^2\vert y-x_0 \vert \leq c \vert f(x_0) -x_0 \vert</math> <math>\Rightarrow</math> <math>c\vert y-x_0 \vert -c^2\vert y-x_0 \vert + \vert f(x_0) -x_0 \vert - c\vert f(x_0) -x_0 \vert \leq \vert f(x_0) -x_0 \vert</math> <math>\Rightarrow </math> <math>c \vert y-x_0 \vert + \vert f(x_0) -x_0 \vert \leq \frac{1}{1-c} \vert f(x_0) -x_0 \vert</math> .

Mit der Kontraktionseigenschaft ist <math>\vert f(y) -f(x_0) \vert + \vert f(x_0) -x_0 \vert \leq c \vert y-x_0 \vert + \vert f(x_0) -x_0 \vert</math> , und mit der Dreiecksungleichung ist <math>\vert f(y) -x_0 \vert \leq \vert f(y) -f(x_0) \vert + \vert f(x_0) -x_0 \vert </math> <math>\Rightarrow </math> <math>f(y) \in B_r (x_0)</math> .

Es hat also f in <math>B_r(x_0)</math> genau einen Fixpunkt. Aber woraus folgt, dass in <math>A/B_r(x_0)</math> kein Weiterer liegt?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-05-20


Okay, mit der Definition von <math>r</math> macht die Bezeichnung natürlich Sinn :)

Indem man das zeigt, was intuitiv wohl (sofern die Aufgabe stimmt) der Fall sein müsste. Nämlich, dass jeder Fixpunkt von <math>f</math> schon in <math>B_r(x_0)</math> liegt.



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